Повторение испытаний (Схема Бернулли)

Если производится несколько испытаний (опытов), причем вероятность события А в каждом испытании не зависит от исходов других испытаний, то такие испытания называются независимыми относительно события А.

В схеме Я. Бернулли рассматривается серия, состоящая из n независимых испытаний, каждое из которых имеет лишь две исхода: наступление какого-то события А (успех) или его не наступление (неудача). Причем вероятность успеха при одном испытании равна Р(А) = р (0 ≤ p ≤ 1) – постоянна и не зависит от номера испытаний. Следовательно, вероятность неуспеха Р( )=1 – p = q – тоже постоянна.

Поставим своей задачей вычислить вероятность того, что при n испытаниях событие А осуществится ровно k раз и, следовательно, не осуществится n – k раз.

По теореме умножения вероятностей получим:

p·p·....·p·q·q·....·q = p^k q^n-k

k n-k

А А А А ...................A A A A A ...................... A

n

Число возможных вариантов выборки k элементов из n вычисляется по формуле:

.

Окончательно получим:

(1)

Это и есть формула Бернулли (Биномиальное распределение). Вспомним формулу бинома Ньютона:

(2)

Отсюда, и непосредственно из формулы Бернулли (1) следует:

(3)

Очевидно этот же результат получится, если вспомнить, что для k = {0, 1, 2, ...., n} – получим полную группу событий, вероятность которой равна 1.

Введем обозначения, пусть означает вероятность того, что в n испытаниях схемы Бернулли успех наступит не менее чем m₁ – раз, и не более, чем m₂ – раз ( ). Тогда имеет место формула:

(4)

Вероятность того, что в результате n испытаний, успех наступит хотя бы 1 раз, определяется формулой:

(5)

Необходимо найти k₀ – наивероятнейшее число успехов, т.е. такое k₀ вероятность которого максимальна.

Запишем условия:

a) ; b) ;

а) ; ; .

b) ; ; .

. (6)

При n → ∞ (достаточно большом) получим – (вспомним частотное определение вероятности).

Значит, можно сказать, что при больших n наиболее вероятная частота успеха совпадает (равна) вероятности успеха при одном испытании.

ПРИМЕР: Вероятность того, что расход электроэнергии на продолжении одних суток не превышает установленной нормы, равна р=0.75. Найти вероятность того, что в ближайшие 6 суток расход электроэнергии в течение 4 суток не превысит нормы.

РЕШЕНИЕ: Вероятность нормального расхода р=0.75. Вероятность перерасхода q=0.25. Искомая вероятность по формуле Бернулли:

.

Рассмотрим обобщение схемы Бернулли.

Производим n независимых испытаний, каждое из которых имеет m (m > 2) попарно несовместимых и единственно возможных исходов А_j(j = 1, 2, ..., m). Т.е. А_j – полная группа событий. Вероятности наступления каждого события p_i = P(A_i) – в общем случае различны и удовлетворяют условию . В этих условиях для произвольно заданных целых неотрицательных чисел k_i таких, что выводится вероятность P_n(k₁, k₂, .., k_m) того, что при n испытаниях исход А₁ наступит ровно k₁ раз, исход – k₂ раз и т.д., исход A_m произойдет k_m раз:

(7)

Это и есть полиномиальное распределение.