Закон сложения вероятностей

Рассмотрим несовместные события А₁, А₂ и их объединения А = А₁ А₂. Допустим происходит серия одинаковых и независимых между собой опытов, результатом каждого из которых могут быть указанные события А, А₁ или А₂. Пусть n – число всех испытаний, n(А), n(А₁) и n(А₂) – число тех из них, которые привели к наступлению соответствующих событий: А, А₁, А₂. Если в каком-то опыте произошло событие А, то это значит, что произошло или событие А₁ или событие А₂ (одновременно А₁ и А₂ произойти не могут, так как по условию они несовместны). Поэтому числа n(А), n(А₁) и n(А₂) связаны соотношением:

n(А) = n(А₁) + n(А₂) (1)

Следовательно, частоты рассматриваемых событий таковы, что

n(А) / n = n(А₁) / n + n(А₂) / n (2)

При достаточно большом числе испытаний n частоты практически совпадают с соответствующими вероятностями. Так что соответствующие вероятности будут связаны между собой равенством:

P(А) = P(А₁) + P(А₂) (3)

Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.

Обобщив эту теорему на любое число несовместных событий, получим:

(4)

Следствие 1. Если события А1, А2,....Аn образуют полную группу попарно несовместных событий, то сумма их вероятностей равна 1:

. (5)

Противоположными событиями называются два несовместных события, составляющие (образующие) полную группу. А и .

Примеры противоположных событий:

1. А – попадание при выстреле;

– промах при выстреле.

2. С – при бросании кубика выпала 6;

– при бросании кубика 6 не выпала.

Следствие 2. Сумма вероятностей противоположных событий равна 1:

. (6)

ПРИМЕР:

В лотерее 1000 билетов: из них на один билет падает выигрыш 500 рублей, на 10 билетов – выигрыши по 100 рублей, на 50 билетов выигрыши по 20 рублей, на 100 билетов – выигрыши по 5 рублей, остальные билеты - не выигрышные. Некто покупает один билет. Найти вероятность выиграть не менее 20 рублей.

Решение:

А – выигрыш не менее 20 рублей

А₁ – выигрыш 20 рублей

А₂ – выигрыш 100 рублей

А₃ – выигрыш 500 рублей

Очевидно: А = А₁ + А₂ + А₃

По теореме сложения вероятностей:

Р(А) = Р(А₁) + Р(А₂) + Р(А₃) = 0.050 + 0.010 + 0.001 = 0.061.

Как было указано выше, теорема сложения вероятностей справедлива только для несовместных событий. В случае, когда события А и В – совместны, вероятность суммы этих событий выражается формулой:

Р(А + В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ). (7)

Аналогично запишем вероятность суммы трех совместных событий:

Р(А + В + С) = Р(А) + Р(В) + Р(С) – Р(АВ) – Р(АС) – Р(ВС) – Р(АВС) (8)

Справедливость формул (7) и (8) наглядно иллюстрируются рисунками:

Аналогичную формулу можно написать для произведения событий. Действительно, как следует из рисунка:

Р(АВ) = Р(А) + Р(В) – Р(А + В) (9)

Теорема умножения вероятностей

Перед тем как изложить теорему умножения вероятностей, введем еще одно важное понятие: понятие о зависимых и независимых событиях.

Событие А называется независимым от события В, если вероятность события А не зависит от того, произошло событие В или нет.

Событие А называется зависимым от события В, если вероятность события А меняется в зависимости от того, произошло событие В или нет.

ПРИМЕР 1:

Бросаем 2 монеты. Рассмотрим события:

А – появления герба на первой монете;

В – появление герба на второй монете.

Очевидно событие А не зависит от того, произошло событие В или нет. Событие А независимо от события В.

ПРИМЕР 2:

В урне два белых шара и один черный. Два человека последовательно вынимают по одному шару. Рассмотрим событие:

А – появление белого шара у второго человека,

В - появление белого шара у первого человека.

Вероятность события А до того, как известно что-либо о событии В, равна 2/3. Если стало известно, что событие В произошло, то вероятность события А становится равной 1/2. Из этого заключаем, что событие А зависит от события В.

Вероятность события А, вычисленная при условии, что имело место другое событие В, называется условной вероятностью события А и обозначается: Р(А/В).

Для ПРИМЕРА 2: Р(А) = 2/3; Р(А/В) = 1/2.

Условие независимости события А от события В записывается в виде: Р(А/В) = Р(А),

а условие зависимости – в виде:

Р(А/В) Р(А).

Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятностей одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое имело место:

Р(АВ) = Р(А) Р(В/А) = P(B) P(A/B)

Следствие 1. Если событие А не зависит от события В, то и событие В не зависит от события А.

Следствие 2. Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.

ПРИМЕР 3:

Прибор работающий в течение времени t, состоит из трех узлов, каждый из которых, независимо от других может в течение времени t отказать. Отказ хотя бы одного узла приводит к отказу прибора. За время t вероятность безотказной работы узлов соответственно равны: р₁=0.8, р₂=0.9, р₃=0.7. Какова надежность прибора (вероятность безотказной работы) за время t?

Решение:

А – безотказная работа прибора

А₁ – безотказная работа 1 узла

А₂ – безотказная работа 2 узла

А₃ – безотказная работа 3 узла

А = А₁ А₂ А₃

Тогда по теореме умножения вероятностей независимых событий:

Р(А) = Р(А₁) Р(А₂) Р(А₃) = р₁ р₂ р₃ = 0.504

ПРИМЕР 4:

Экзаменующимся по теории вероятностей было предложено 34 билета. Студент дважды извлекает по одному билету из предложенных (не возвращая их). Какова вероятность того, что студент сдаст экзамен, если он подготовил лишь 30 билетов и в первый раз вынул «неудачный» билет?

Решение:

Испытание состоит в том, что два раза подряд извлекают по одному билету, причем вынутый в первый раз билет назад не возвращается. Пусть событие А – "в первый раз вынут "неудачный" билет", В – "во второй раз вынут "удачный" билет". Очевидно, что события А и В зависимы, т.к. извлеченный в первый раз билет не возвращается в число всех билетов. Требуется найти вероятность события А В. По формуле:

Р(А В) = Р(А) Р(В/А);

Р(А) = 4/34; Р(В/А) = 30/33, тогда Р(А В) = .

Формула полной вероятности

Следствием обеих основных теорем – теоремы сложения вероятностей и теоремы умножения вероятностей – является так называемая формула полной вероятности.

Пусть требуется определить вероятность некоторого события А, которое может произойти вместе с одним из событий: Н₁, Н₂,...,Н_n , образующих полную группу несовместных событий. Будем эти события называть гипотезами.

В этом случае:

(1)

т.е. вероятность события А вычисляется как сумма произведений вероятности каждой гипотезы на вероятность события при этой гипотезе.

ПРИМЕР 1: имеются три одинаковые урны:

1 – два белых + один черный шар;

2 – три белых + один черный;

3 – два белых + два черных.

Найти вероятность того, что некто подойдет и из произвольной урны вынимает белый шар?

Решение: рассмотрим 3 гипотезы:

Н₁ – выбор 1 урны;

Н₂ – выбор 2 урны;

Н₃ – выбор 3 урны.

Событие А – появление белого шара. Т.к. по условию задачи гипотезы равновозможны, то Р(Н₁) = Р(Н₂) = Р(Н₃) = 1 / 3. Условные вероятности события А при этих гипотезах соответственно равны: Р(А/Н₁) = 2 / 3; Р(А/Н₂) = 3/4; Р(А/Н₃) = 1/2. По формуле полной вероятности получим:

.

П РИМЕР 2: представим себе странника, идущего из некоторого пункта О и на разветвлении дорог выбирающего наугад один из возможных путей. Какова вероятность того, что странник из пункта О попадет в пункт А?

Решение: как видно из рисунка, странник обязательно проходит через один из пунктов В₁, В₂, В₃ и В₄. Обозначим Н_k – гипотезы, состоящие в том, что путник при своем движении попадет в пункт В_k. Очевидно, что события Н₁, Н₂, Н₃ и Н₄ – образуют полную группу событий. Очевидно, что эти гипотезы (события) равновероятны, т.к. по условию, странник наугад выбирает один из путей ОВ₁, ОВ₂, ОВ₃ или ОВ₄. Тогда Р(Н_k) = 1/4. Из пункта В₁ в А можно прийти лишь по одному из трех равновероятных направлений. Так что условная вероятность достичь А при условии Н₁ равна 1/3. Т.е. Р(А/Н₁) = 1/3; Р(А/Н₂) = 1/2; Р(А/Н₃)=1; Р(А/Н₄) = 2/5. По формуле полной вероятности:

Р(А) = 1/4 (1/3 + 1/2 + 1 + 2/5) = 67/120.

Теорема гипотез

(Формула Байеса)

Следствием теоремы умножения и формулы полной вероятности является теорема гипотез, или формула Байеса.

Поставим задачу.

Имеется полная группа несовместных гипотез Н₁, Н₂,..., Н_n. Вероятности этих гипотез известны и составляют соответственно Р(Н₁), Р(Н₂),..., Р(Н_n). Произведен опыт, в результате которого наблюдалось событие А. Спрашивается, как следует изменить вероятности гипотез в связи с появлением этого события?

Фактически здесь необходимо найти условную вероятность Р(Н_i/А) для каждой гипотезы. Из теоремы умножения вероятностей имеем:

Р(А Н_i) = Р(А) Р(Н_i/А) = Р(Н_i) Р(А/Н_i) (i = 1, 2,..., n).

Отсюда: Р(А) Р(Н_i/А) = Р(Н_i) Р(А/Н_i) (i = 1, 2,.. , n).

Окончательно получим: Р(Н_i/А) = (i = 1, 2,..., n).

Выражая Р(А) с помощью формулы полной вероятности получим:

(i = 1, 2,..., n) – формула Байеса.

ПРИМЕР 3: прибор может собираться из высококачественных деталей и из деталей обычного качества. 40 % приборов собирается из высококачественных деталей и их надежность за время t равно 95 %. Приборы из обычных деталей за время t имеют надежность 0.7. Прибор испытан и за время t работал безотказно. Какова вероятность того, что он собран из высококачественных деталей?

Решение: возможны 2 гипотезы:

Н₁ – прибор собран из высококачественных деталей;

Н₂ – прибор собран из некачественных деталей.

Вероятность этих гипотез до опыта: Р(Н₁) = 0.4, Р(Н₂) = 0.6.

В результате опыта наблюдалось событие А – прибор безотказно работал время t. Условные вероятности этого события при гипотезах Н₁ и Н₂ равных: Р(А/Н₁) = 0.95, Р(А/Н₂) = 0.7

По формуле Байеса находим вероятность гипотеза Н₁:

ПРИМЕР 4: в урне содержится три шара белого и черного цвета, причем распределение числа шаров по цветам неизвестно. В результате испытания из урны извлекли 1 шар. а) Сформулировать гипотезы о содержимом урны до испытания и указать их вероятности. б) Найти вероятности гипотез после испытания, состоящего в извлечении из урны белого шара.

Решение:

а) До испытания выскажем четыре попарно несовместимых и равновероятных гипотезы:

1. Н₁ – в урне 3 белых и 0 черных шаров;

2. Н₂ – в урне 2 белых и 1 черных шаров;

3. Н₃ – в урне 1 белых и 2 черных шаров;

4. Н₄ – в урне 0 белых и 3 черных шаров;

Р(Н₁) = Р(Н₂) = Р(Н₃) = Р(Н₄) = ¼.

б) Т.к. извлечен белый шар, то Р(А/Н₄) = 0, Р(А/Н₃) = 1/3, Р(А/Н₂) = 2/3, Р(А/Н₁) = 1.

По формуле Байеса: