Пространство элементарных событий. Случайные события.

Под событием в теории вероятностей понимается всякий факт, который в результате опыта может произойти или не произойти.

Примеры событий:

А – появился герб при бросании монеты;

В – появление трех гербов при трехкратном бросании монеты;

С – попадание в цель при выстреле;

D – появление туза при вынимании карты из колоды; и т.д.

Рассматривая вышеперечисленные события, мы видим, что каждое из них обладает какой-то степенью возможности: одни – большей, другие – меньшей. Причем, для некоторых событий мы сразу же можем решить, какое из них более, а какое менее возможно. Чтобы количественно сравнить между собой события по степени их возможности, очевидно нужно с каждым событием связать определенное число, которое тем больше, чем более возможно событие. Такое число мы называем вероятностью события.

Рассмотрим множество событий М, которые можно наблюдать в некотором эксперименте. Выделим, прежде всего, два специальных события – достоверное событие - U, которое обязательно происходит в эксперименте, и невозможное событие - V, которое не может произойти в эксперименте никогда.

Для каждого события А из М введем противоположное событие , которое состоит в том, что событие А не произошло.

Событие А + В (А В), заключающееся в том, что из двух событий А и В происходит по крайней мере одно (либо А, либо В, либо А и В вместе), называется суммой (или объединением) событий А и В.

Событие АВ (А В), заключающееся в том, что события А и В происходят одновременно, называется произведением (или пересечением) событий А и В.

Событие А \ В называется разностью событий А и В; оно заключается в том, что происходит А и не происходит В.

Предположим, что среди всех возможных событий А, которые в данном опыте по воле случая происходят или не происходят, можно выделить совокупность так называемых элементарных событий или элементарных переходов, обладающих следующими свойствами:

во-первых, все они взаимоисключают друг друга, т.е. являются непересекающимися;

во-вторых, в результате данного опыта обязательно происходит одно из этих элементарных событий;

в-третьих, каково бы ни было событие А, по наступившему элементарному исходу всегда можно судить о том, происходит или не происходит это событие.

Элементарные исходы обычно обозначаются греческой буквой , а их совокупность называется пространством элементарных событий.

ПРИМЕР 1: При бросании двух игральных костей элементарным исходом можно считать пару чисел =(a, b), где а – число очков на первой кости, b – число очков на второй кости. При этом (1 a, b 6).

ПРИМЕР 2: Сделано 5 выстрелов по мишени. Элементарным исходом данного опыта является: = а, где а – число (  а ).

Рассмотрим геометрическую интерпретацию возможных событий:

А В А В a)

b)

c)

D = A  B; D = A  B; D = A  B;

г) А=А₁ А₂;

д) А=А₁\А₂;

е) А=А₂= .

Здесь каждой картинке (прямоугольнику) соответствует пространство элементарных событий .

Два события А и В несовместимы (или несовместны), если А В =  (т.е. событие невозможно).

События Е₁, Е₂,..., Е_n – образуют полную группу событий, если они попарно несовместны и:

Е₁ Е₂ Е₃ ... Е_n = Е_к = Е_к, т.е. из этих событий происходит одно и только одно.

Таким образом, пусть - пространство элементарных переходов рассматриваемого опыта или явления. Для каждого, связанного с этим опытом события А можно выделить совокупность тех элементарных переходов , наступление которых влечет за собой наступление события А. Обозначим множество (совокупность) этих элементарных переходов тем же символом А, что и соответствующее событие А.

Очевидно событие А наступает тогда и только тогда, когда наступает один из элементарных переходов , входящих в указанное множество А. Другими словами, событие А равно событию, которое состоит в том, что наступает какой либо элементарный переход , входящий в множество А ( А). Т.е. событие А можно отождествить с множеством А элементарных переходов .

Достоверное событие А, наступающее в результате любого из элементарных переходов , при таком отождествлении событий множеств совпадает с пространством : А = .

Невозможное событие А, не наступающее ни при каком элементарном переходе , совпадает с пустым множеством и обозначается А = .