Элементы комбинаторики

Правило произведения. Если компоненту х₁ строки (х₁, х₂,....,х_к) можно выбрать n₁ способами и после каждого такого выбора х₁ компоненту х₂ можно выбрать n₂ – способами. После выбора х₁ и х₂ компоненту х₃ можно выбрать n₃ способами и т.д., наконец х_к независимо от выбора всех предыдущих компонент можно выбрать n_k способами. Тогда количество возможностей (комбинаций) образования строки (х₁, х₂,....,х_к) равно:

. (1)

ПРИМЕР 1: Обед в университетской столовой состоит из трех блюд. Первое блюдо в меню может быть выбрано 5 способами, второе блюдо - 4, а третье блюдо - 3. Сколько дней студент может съедать новый обед, если любая комбинация блюд возможна, и один обед от другого должен отличаться хотя бы одним блюдом?

Правило суммы. Если множество Е₁ содержит n₁ элемент, множество Е₂ - n₂ элементов, ..., и множество Е_к - n_k элементов. И если эти множества попарно не пересекаются, то число элементов в их объединении равно сумме чисел элементов, содержащихся в каждом из этих множеств:

. (2)

Перестановки. Пусть Е⁽ⁿ⁾={x₁, x₂,....,x_n} – произвольное (неупорядоченное) n – элементное множество. Рассмотрим различные комбинации его упорядочивания. Получаемые при этом упорядоченные множества отличаются друг от друга только порядком следования входящих в них элементов, и называются перестановками из n – элементов. Число всех таких перестановок обозначается символом P_n и находится по формуле:

. (3)

ПРИМЕР 2: Пятеро гостей случайным образом рассаживаются за столом. Сколькими способами можно их рассадить так, чтобы хотя бы 2 гостя поменялись местами (изменился порядок)?

Размещения. Различные упорядоченные m – элементные подмножества данного неупорядоченного множества E⁽ⁿ⁾ (m < n) называются размещениями из n элементов по m. Число таких размещений обозначается и вычисляется по формуле:

. (4)

ПРИМЕР 3: Десять участников финала разыгрывают одну золотую, одну серебряную и одну бронзовую медали. Сколькими способами эти награды могут быть распределены между спортсменами?

.

Сочетания. Различные неупорядоченные m – элементные подмножества множества E⁽ⁿ⁾ (m < n) называются сочетаниями из n элементов по m. Число всех таких сочетаний обозначается символом и определяется по формуле:

. (5)

ПРИМЕР 4: В полуфинальном забеге участвуют десять спортсменов. Три спортсмена, показавших лучший результат, попадают в финал. Сколько существует различных троек финалистов?

Примечания:

Размещения из n – элементов по m представляют собой такие m – элементные выборки из множества Е⁽ⁿ⁾, которые отличаются друг от друга либо самими элементами (хотя бы одним), либо порядком их расположения.

Сочетания же из n – элементов по m представляет собой m – элементные выборки, отличающиеся только самими элементами.

Размещения с повторениями. Любая строка длиной m, составленная из элементов множества Е⁽ⁿ⁾, называется размещением с повторением из n – элементов по m. Число всех размещений с повторениями обозначается символом и вычисляется по формуле:

. (6)

ПРИМЕР 5: Для автомобильных номеров используются 10 цифр и 28 букв. Каждый номер состоит из 3 букв и 4 цифр. Какое максимальное число машин может получить номера при такой системе нумерации?

РЕШЕНИЕ: Сначала осуществим выбор 4 цифр. Каждый такой комплект цифр представляет собой четырехэлементную выборку из 10 – элементного массива цифр, т.е. является размещением с повторениями из 10 элементов по 4. Следовательно, общее число таких элементов равно 10⁴. Исключим из выборки 00-00. Аналогично выбор трех букв из 28 осуществляется 28³ числом способов. Т.к. номер каждой машины есть упорядоченная "пара", состоящая из комплекта цифр и комплекта букв, то по правилу произведения число всех номеров будет равно N = (10⁴-1)*28³ = 219 498 048.