47

Глава 3. Математичні моделі бокового руху літака

До бокового руху літака прийнято відносити рух центра мас літака вздовж поперечної осі та його обертання навколо нормальної осі ОУ і поздовжньої осі ОХ зв'язаної системи координат. До параметрів бокового руху відносять кути ковзання , крену  та рискання  й їх кутові швидкості, а також бокове переміщення літального апарата Z. Управління боковим рухом здійснюється шляхом відхилення елеронів _э та руля направлення _н. Вивчення бокового руху будемо проводити в зв`язаній та траєкторній системах координат.

3.1. Відділення рівнянь бокового руху від повної системи рівнянь просторового руху. Рівняння ізольованого бокового руху

При вивченні ізольованого бокового руху вважають, що його параметри не залежать від характеристик поздовжнього руху. Це припущення виконується при постійності кінематичних параметрів поздовжнього руху V, , . Як правило, за програмний (незбурений) режим польоту обирається горизонтальний політ () з постійною швидкістю та невеликими кутами атаки.

Таким чином першими припущеннями при отриманні рів­нянь ізольованого бокового руху є:

- V  const;

-  0, тоді cos  1, sin  0;

-   0, тоді cos  cos 1, sin  sin  0.

З урахуванням цих припущень повна система, що описує боковий рух літака, відділяється від системи рівнянь (1.11) просторового руху й набуває вигляду:

(3.1)

Останнє рівняння не впливає на інші й може розглядатися ізольовано. При подальшому спрощенні будемо вважати незначними зміни кутів  та (за програмний політ обирається прямолінійний політ без ковзання), тобто,:

sin , sin , sin()  (), cos 1, cos  1.

У цьому випадку система рівнянь спрощується й з урахуванням _a буде мати вигляд:

(3.2)

Система рівнянь (3.2) є нелінійною, оскільки містить у своєму складі функціональні залежності:

Тому подальше спрощення рівнянь бокового руху літака - це лінеаризація системи рівнянь.

3.2. Лінеаризація рівнянь бокового руху літака

Лінеаризацію будемо здійснювати для режиму прямолінійного горизонтального польоту з постійною швидкістю й малими кутами атаки та ковзання. Докладно сутність лінеаризації викладалась у попередній главі.

Приймемо додаткове припущення -

, (3.3)

тобто, відхилення руля направлення створює тільки момент. Лінеаризуючи систему рівнянь (3.2), з урахуванням (3.3) отримаємо:

(3.4)

З урахуванням (3.3), коефіцієнти лінеаризованої системи рівнянь мають вигляд:

; при (горизонтальний політ ) - ;

; ; ; ; ; ; (3.5)

; ; ; де - , .

Ця математична модель не враховує збурення, що діють на боковий рух літака. Серед збурень, що діють на літак, можна виділити:

- Збурення, що порушують рівновагу сил, діючих на літак, наприклад, неврахована сила Z_a= Z_a(_н). Дію цих збурень можна врахувати шляхом додавання до першого рівняння - рівняння сил члена , величина якого пропорційна діючому збуренню

- Збурення, що порушують рівновагу моментів, діючих на літак, наприклад: відмова двигуна для багатомоторного літака (збурюючий момент M_y), скидання вантажу з під одного півкрила (збурюючий момент M_x). Дію цих збурень можна звести до додаткового відхилення елеронів і руля направлення та описати у другому рівнянні як член , а у третьому рівнянні як член .

Вплив горизонтальної складової вітрових збурень враховується шляхом додавання до геометричного рівняння кута зносу _зн.

З урахуванням вище наведеного система лінеаризованих рівнянь бокового руху, що враховує основні діючі збурення, має вигляд:

(3.6)

Перетворимо отриману систему рівнянь. Після диференціювання останнього рівняння системи (3.6) і підставлення в нього , з урахуванням першого рівняння запишемо математичну модель в безрозмірній формі (за базову величину для кутових параметрів бокового руху прийнята величина в один радіан). Риску над позначенням безрозмірного параметра (як було домовлено для поздовжнього руху) будемо пропускати. Лінійна модель бокового руху в безрозмірній формі з урахуванням перетворень приймає такий вигляд:

(3.7)

Перше рівняння системи не впливає на інші і може розглядатися відокремлено.

Застосовуючи перетворення Лапласа до цієї системи рівнянь при нульових початкових умовах, отримаємо математичну модель бокового руху в операційній формі:

(3.8)

Для подальшого спрощення рівнянь бокового руху проаналізуємо динаміку ізольованих бокових рухів літака при східчастому відхиленні органів управління.