Подставляя (3.15) в (3.14) окончательно получим

. (3.16)

Из анализа этого выражения видно, что методом Ньютона нельзя выполнить минимизацию функции (3.8) при n = 1 и в тех случаях когда при n < 2 любое L_i(X) = 0 дает деление на ноль при вычислении C.

Если n = 2, то выражение (3.16) будет таким

Что соответствует алгоритму Гаусса и подтверждает связь метода Ньютона с методом Гаусса.

В работах [21, 22, 59], где рассматривается метод Lp-оценок, вместо (3.16) используется следующее выражение

, (3.17)

по которому при n = 2 находят

,

затем при n ¹ 2 вычисляют и находят dC итерациями с использованием (3.17). Благодаря этому алгоритму удается реализовать даже метод наименьших модулей [80].

В табл. 3.6 дана траектория минимизации целевой функции (3.1) при n = 2 методом Ньютона для засечки изображен­ной на рис. 2.15 с исходными данными в табл. 2.11.

Таблица 3.6

Траектория минимизации

J	Координаты Р, м		Координаты Р¢, м		Ф(Х)
	X	Y	Х	Y
0	14 102,890	44 251,329	14 102,890	50 729,910	0,458Д+9
1	14 608,520	44 945,471	12 494,496	51 871,006	0,1025Д+9
2	15 001,436	45 258,534	12 948,388	52 134,192	0,1136Д+6
3	14 993,425	45 246,288	12 938,676	52 136,743	0,5592Д-1
4	14 993,425	45 264,292	12 938,670	52 136,741	0,2375Д-14

3.4. Уравновешивания геодезических сетей на плоскости

Уравнивание геодезической сети выполним методами нелиней­ного программирования путем решения системы нелинейных: уравне­ний (2.16) под условием минимума целевых функций (3.1) или (3.4). После получения уравненных координат можно найти поправки в измерения согласно (3.6).

Заметим, что по известным публикациям в большинстве слу­чаев изменение критерия оптимальности решения сопровождается существенной модификацией алгоритма уравнивания, что создает серьезные затруднения при практической реализации методов. Так, для уравнивания результатов измерений по методу наименьших мо­дулей В.И.Мудров и В.Л.Кушко применили математический аппарат линейного программирования и метод вариационно-взвешенных при­ближений [80]. Для тех же целей Н.Т.Ковтун использует метод чебышевских приближений [41]. Общий способ уравнивания при любом n предложен в работе [59] на основе методов линей­ной алгебры по формуле (3.17).

Но такое уравнивание было осуществлено только для равно­точных измерений, а полученную обратную матрицу невозможно применить для оценки точности результатов уравнивания.

В этом отношении использование методов нелинейного программирования оказывается весьма эффективным, т.к. переход от одного метода уравнивания к другому может быть осуществлен пу­тем соответствующего выбора критериальной функции без модифи­кации алгоритма минимизации. Например, применение целевой функции (3.1) возможно при любом n, и при n = 4 будет выполнено уравнивание геодезической сети по методу наименьших модулей. Для этих целей возможно использование многогруппового итеративного способа, поскольку метод Ньютона при n = 1 в обычных условиях приводит к вырожденной матрице Гессе.

При уравнительных вычислениях на плоскости, используют нелинейные равнения, указанные во второй главе. Чтобы при на­личии угловых измерений результаты уравнивания были близки к уравниванию геодезической сети по направлениям, составляют и берут в обработку нелинейные уравнения (2.19), при числе нап­равлений на пункте более двух, для углов замыкающих горизонт. Этот искусственный прием можно не делать, если применять целе­вую функцию (3.4), используя известную корреляцию для горизонтальных углов.

Выполним уравнивание звена триангуляции (рис. 3.3) с ис­ходными данными, приведенными в [93, с.145], по методу наи­меньших квадратов (МНК) и по методу наименьших модулей (МНМ), применяя минимизацию целевой функции (3.8) при n = 2 и n = I соответственно, используя алгоритм Lp-оценок и выражения (3.17).

Сведения об уравненных координатах даны в табл. 3.7. Поп­равки в углы из уравнивания представлены в табл. 3.8.

23 А₅ 25 А₇ 28 А₃

А₁ 1 16

3 9 7 18

5 14 20

8

2 4 17

6 12 13 21 19

24 10

А₂ 22 А₆ 26 А₈ 27 А₉ А₄

Рис. 3.3. Звено триангуляции

Таблица 3.7

Оценки параметров, полученные по МНК и МНМ

Пункты	Координаты пунктов по МНК		Разности оценок параметров, МНМ
	, м	, м
A1	715 346,260	481 563,410
A2	700 334,760	483 138,020
A3	709 329,920	558 727,600
A4	692 032,060	563 708,140
A5	720 294,259	506 219,969		+ 21	- 30
A6	699 195,054	511 018,426		+ 24	- 17
A7	711 404,392	527 384,840		+ 40	- 16
A8	681 444,462	525 520,746		+ 26	- 16
A9	682 606,849	544 980,643		+ 22	- 17

Таблица 3.8