Платежная матрица

	B1	B3
A1	3	6
A2	9	4

Решение.

Задача сводится к игровой модели, в которой игра предприятия А против спроса В задана платежной матрицей/ Определим верхнюю и нижнюю цены игры:   = 3,   = 6. Как видно, седловая точка отсутствует, и решение нужно искать в смешанных стратегиях игроков: A^* =(p₁, p₂), B^* = (q₁, q₂). Игра 2х2.

Формулы для расчета вероятностей стратегий для игры 2х2.:

Для игрока А ;

Для игрока В ;

Цена игры (средний выигрыш)

В примере:

;

;

Цена игры (средний выигрыш) равен:

Полученное решение интерпретируется следующим образом. Продукция А₁ должна составлять 62,5% от общего объема выпущенной продукции, продукция А₂ – 37,5% . Это гарантирует предприятию среднюю прибыль в размере 5,25 при любом характере спроса.

Расчет вероятностей стратегий для игры размером mхn.:

Пример 3. Предприниматель выпускает 3 вида товаров: А₁, А_2, А_3, которые он хочет реализовать на рынке, где возможная продажа аналогичных товаров конкурента В составляет В₁, В₂, В₃. Предпринимателю стали известны возможное количество продукции каждого вида, которые могут быть проданы при различных вариантах появления товаров конкурента.

Нижняя и верхняя цена игры

B A	В1	В2	В3	αi
А1	3	6	8	3
А2	9	4	2	2
А3	7	5	4	4*
βj	9	6*	8

α ≠ β

Решение

Проверим игру на наличие седловой точки:   = 4,   = 6. Седловая точка отсутствует. Составим пару двойственных задач линейного программирования.

игрок А = (p1, p2, p3),			игрок В = (q1, q2, q3),
Средний выигрыш ≥ цены игры			Средний выигрыш ≤ цены игры
a11 p1 + a21 p2 + a31 p3  ≥ V, a12 p1 + a22 p2 + a32 p3  ≥ V, a13 p1 + a23 p2 + a33 p3  ≥ V. ...			a11q1 +a12q2 +a13q3 ≤ V, a21 q 1 + a22 q 2 + a23q3 ≤ V, a31 q 1 + a32 q 1 + a33 p3 ≤ V. ...
Вводим переменные, делим на V
; ;			; ; ;
f(x) = х1 + х2 + х3 → min; (т.к. V максимизируем)			f(у)  = у1 + у2 + у3 → max;
	3х1 + 9х2 + 7х3 ≥ 1, 6х1 + 4х2 + 5х3 ≥ 1, 8х1 + 2х2 + 4х3 ≥ 1;			3у1 + 6у2 + 8у3 ≤ 1, 9у1 + 4у2 + 2у3 ≤ 1, 7у1 + 5у2 + 4у3 ≤ 1;
х1 ≥ 0,  х2 ≥ 0,   х3 ≥ 0.			у1 ≥ 0,  у2 ≥ 0,   у3 ≥ 0.

Методы решения задач линейного программирования обсуждались в теме лекции "Использование основ линейного программирования в ПУР".

Решая первую из задач, получим:

х₁= 0,07;  х₂= 0; х₃= 0,11;  f(x)  = 0,185.

Решение второй задачи дает следующие результаты:

у₁ = 0,037;  у₂ = 0,148;  у₃ = 0;  f(у)  =0,185

V=1/0,185=5,4 p1=х1*V=5,4*0,07=0,4 р2=0 p3=0,6 А = (0,4, 0, 0,6),

V=1/0,185=5,4 q1=y1*V=5,4*0,037=0,2 q2=0,8 q3=0 В = (0,2, 0,8, 0),

Таким образом, чтобы гарантировать себе средний выигрыш не менее 5,4 независимо от поведения конкурента, предприятию А следует выпускать около 40% продукции А1 и около 60% продукции А3, продукцию А2 – не выпускать.