Теорема Ляпунова.

(1)

розв’язок.

(2)

Характер тобто вільної складової перехідного процесу повністю визначається коренями характеристичного рівняння (2).

Російський математик Ляпунов зв’язав стійкість системи з виглядом коренів характеристичного рівняння.

1. Якщо дійсні корені та дійсні частини комплексних коренів рівняння є від’ємною величиною, то система буде стійкою.

2. Якщо хоча б один з дійсних коренів або з дійсних частин комплексних частин комплексних коренів є додатнім, то система є нестійкою.

3. Якщо хоча б один з дійсних коренів або дійсна частина комплексного кореня =0 то система є нестійкою, або находиться на межі стійкості.

Доведення:

У випадку дійсних коренів загальне рішення однорідного диференційного рівняння можна представити у вигляді

- дійсні

,

Приклад:

Розв’язок однорідного диференційного рівняння у випадку тільки комплексних коренів будемо шукати у вигляді:

В загальному випадку при наявності дійсних і комплексних коренів розв’язок однорідного диференційного рівняння має вигляд:

- кількість коренів.

Розглянемо випадок коли один з дійсних коренів дорівнює 0 або одна з дійсних частин комплексного кореня дорівнює 0.

а)

б)

Приклад 1:

система нестійка.

Билет 7

1. Алгебраїчні критерії стійкості. Критерій стійкості.

Розглядають алгебраїчні та частотні критерії стійкості.

Під критерієм стійкості розуміють відповідних правил та ознак, за якими можна судити про стійкість системи.

До алгебраїчних критеріїв відносять:

1. Критерій стійкості Гурвіса;

2. Критерій стійкості Гауса;

3. Критерій стійкості Вишнеоградського;

4. Критерій стійкості Льєнара-Шинара.

До частотних критеріїв відносяться критерії:

1. Михайлова;

2. Найквиста;

3. Логарифмічно частотний критерій.

Алгебраїчні критерії стійкості.

Загальний вигляд характеристичного рівняння:

(2)

За теоремою Безу це характеристичне рівняння можна представити наступним чином:

(2)

Для стійкості системи всі корені

(3)

Перемноживши всі складові рівняння (3) і зробивши нескладні перетворення отримуємо рівняння, всі коефіцієнти якого можуть бути тільки додатніми.

Необхідною умовою стійкості системи є додатність всіх коефіцієнтів її характеристичного рівняння.

Критерії стійкості Гауса.

Нехай характеристичне рівняння має вигляд (1).

а) ;

б) Для застосування критерія необхідно застосувати таблицю Гауса:

і – рядок к – рядок.

Для всіх інших рядків і стовпчиків коефіцієнт визначаються наступною формою:

Таблиця Гауса містить n+1 рядків, де n – порядок характеристичного рівняння.

Критерій:

Система вважається стійкою, якщо всі коефіцієнти І-го стовпчика є додатніми.

Кількість змін знаку коефіцієнтів в першому стовпчику відповідає кількості правих коренів характеристичного рівняння.

Приклад:

3			7			4
-2			12			-3
-1			18			5
5			19			-7
7			-4			10
						-12