Зворотня задача.
Визначення передаточної функції за виглядом ЛАЧХ
БІЛЕТ № 5
Стійкість САУ. Умови стійкості САУ.
Стійкість системи автоматичного управління.
Стійкі САУ є необхідною умовою працездатності системи.
Під стійкістю розуміють властивість системи повертатися до попереднього усталеного режиму після припинення дії збурення, яке вивело систему з цього усталеного режиму.
Будь-яка лінійна САУ може бути стійкою, нестійкою, або нейтрально стійкою системою (відповідно).
Нейтрально стійкою системою називають систему, що знаходиться на межі стійкості.
Нелінійні САУ мають ще додаткові умови:
Стійка система в „малому” але нестійка „в великому”.
Про стійкість системи можна судити за виглядом перехідного процесу. Перехідний процес – це реакція системи на вхідний ступінчатий сигнал.
Стійка система:
Нестійка система:
Нейтрально стійка система:
В свою чергу перехідний процес є розв’язком диференційного рівняння, що описує поведінку САУ.
Розв’язок будь-якого
диференційного рівняння
складається з вільної складової
та вимушеної складової
.
- являє собою загальне рішення
однорідного диференційного рівняння,
що отримується шляхом заміни правої
частини диференційного рівняння на 0.
Складова повністю визначається характером правої частини диференційного рівняння.
Умова стійкості системи
полягає в тому, що
.
перехідного процесу має
затухати, при
має прямувати до 0.
Теорема Ляпунова.
(1)
розв’язок.
(2)
Характер тобто вільної складової перехідного процесу повністю визначається коренями характеристичного рівняння (2).
Російський математик Ляпунов зв’язав стійкість системи з виглядом коренів характеристичного рівняння.
1. Якщо дійсні корені та дійсні частини комплексних коренів рівняння є від’ємною величиною, то система буде стійкою.
2. Якщо хоча б один з дійсних коренів або з дійсних частин комплексних частин комплексних коренів є додатнім, то система є нестійкою.
3. Якщо хоча б один з дійсних коренів або дійсна частина комплексного кореня =0 то система є нестійкою, або находиться на межі стійкості.
Доведення:
У випадку дійсних коренів загальне рішення однорідного диференційного рівняння можна представити у вигляді
- дійсні
,
Приклад:
Розв’язок однорідного диференційного рівняння у випадку тільки комплексних коренів будемо шукати у вигляді:
В загальному випадку при наявності дійсних і комплексних коренів розв’язок однорідного диференційного рівняння має вигляд:
- кількість коренів.
Розглянемо випадок коли один з дійсних коренів дорівнює 0 або одна з дійсних частин комплексного кореня дорівнює 0.
а)
б)
Приклад 1:
система нестійка.
Критерій стійкості.
Розглядають алгебраїчні та частотні критерії стійкості.
Під критерієм стійкості розуміють відповідних правил та ознак, за якими можна судити про стійкість системи.
До алгебраїчних критеріїв відносять:
1. Критерій стійкості Гурвіса;
2. Критерій стійкості Гауса;
3. Критерій стійкості Вишнеоградського;
4. Критерій стійкості Льєнара-Шинара.
До частотних критеріїв відносяться критерії:
1. Михайлова;
2. Найквиста;
3. Логарифмічно частотний критерій.
БІЛЕТ № 6
Теореми Ляпунова.