5.Тригонометрическая форма комплексного числа.

r=z 

=argZ

Пусть комплексное число z=a+bi изображено в виде вектора r с началом О (0, 0) и концом Z(a, b). Вектор ОZ можно задавать не только его координатами a и b, но также длиной r и углом , который он образует с положительным направлением оси абсцисс. При этом a=rcos, b=rsin и число z принимает вид z=r (cos+isin), который называется тригонометрической формой комплексного числа. Число r называют модулем комплексного числа z и обозначают z. Число  называют аргументом z и обозначают Arg z.

Определение 1. Модулем комплексного числа z=a+bi называется длина вектора z, которую можно вычислить по формуле r = z =

Определение 2. Аргументом комплексного числа z=a+bi называется угол , который образует вектор z с положительным направлением оси абсцисс, отсчитываемый против часовой стрелки.

Т.к. cos, sin - функции периодические с периодом 2, то =+2k, где k- целое число.

Назовем главным аргументом  при k=0.

Пример:

1. z₁ = 1, = 1, φ = 0, z₁ = 1*(cos0+isin0)

2. z₂ = 2i, = 2, φ = 90⁰ , z₂ = 2(cos90⁰+isin90⁰)

1) Если   (1-ая и 4-ая координатные четверти, или правая полуплоскость), то аргумент нужно находить по формуле  .

2) Если   (2-ая координатная четверть), то аргумент нужно находить по формуле  .

3) Если   (3-я координатная четверть), то аргумент нужно находить по формуле  .

Пример

Представить в тригонометрической форме комплексные числа:

 z₁ = 3+ = = =

Т.к. четверть первая, то φ=arctg =arctg = 30⁰

Z₁= *(cos30⁰+isin30⁰)

6.Возведение комплексных чисел в степень.

Пример

Возвести в квадрат комплексное число  z = 2+3i

Здесь можно пойти двумя путями, первый способ это переписать степень как произведение множителей  z² = (2+3i)² = (2+3i)(2+3i) перемножить числа по правилу умножения многочленов.

Второй способ состоит в применение известной школьной формулы сокращенного умножения (a+b)² = a²+2ab+b² : z²=(2+3i)²=2²+2*2*3i+(3i)² = 4 + 12i – 9= -5+12i

Что делать, если комплексное число нужно возвести, скажем, в 5-ую, 10-ую или 100-ую степень? Ясно, что в алгебраической форме проделать такой трюк практически невозможно, действительно, подумайте, как вы будете решать пример вроде  ?

И здесь на помощь приходит тригонометрическая форма комплексного числа и, так называемая, 

формула Муавра: Если комплексное число представлено в тригонометрической форме  z= *(cosφ+isinφ), то при его возведении в натуральную степень n справедлива формула:

zⁿ= *(cos(nφ)+isin(nφ))

Пример

Дано комплексное число z=3+ i, найти z²⁰

Что нужно сделать? Сначала нужно представить данной число в тригонометрической форме.

 z=2 (cos +isin )

Тогда, по формуле Муавра:

z²⁰=(2 )²⁰*(cos(20* )+isin(20* ))=(2 )²⁰*(cos +isin )= =(2 )²⁰*(cos +isin )

7.Решение квадратных уравнений с отрицательным дискриминантом

1. Решить уравнение ²-6x+13=0

Решение:

D=b²-4ac=(-6)²-4113=36-52=-16

= = =4i

=

= = = 3-2i

= = = 3+2i

Таким образом, получаем, что если D<0 , то уравнение всегда имеет два решения в комплексных числах

Литература:

1.Современный справочник школьника: 5-11 классы. Все предметы. / А.Н. Роганин, К.Э. Немченко, И.В. Лысикова и др.-М.:Эксмо,2012. С.19

2.Математика: Учеб.-справ. пособие./ В.А. Гусев, А.Г. Мордкович.-М.:ООО «Издательство АСТ», 2003. с.73-81

3. http://mathprofi.ru/kompleksnye_chisla_dlya_chainikov.html

10