Интегрирование

1. Первообразная функции и неопределенный интеграл

Первообразной или примитивной функцией (антипроизводной) данной ф-ции f называют такую F, производная кот.(на всей области определения) равна f, то есть F ′ = f. Вычисление первообразной заключается в нахождении неопределённого интеграла, а сам процесс - интегрированием.

Неопределённый интеграл для ф-ции   - это совокупность всех первообразных данной ф-ции.

Если ф-ция  определена и непрерывна на промеж.   и   - её первообразная, то есть

при , то   , где С - произвольная постоянная.

2 . Таблица стандартных интегралов.

3. Св-ва неопредел. интеграла

1. Производная неопред. интеграла равна подынтегральной ф-ции, а его дифферениал - подынт. выражению.

2. Неопредел. интеграл дифференциала ф-ции = сумме самой ф-ции и произвольной константы.

3. , где k – произвольная константа. Коэфф. можно выносить за знак неопределенного интеграла.

4. Неопред. интеграл суммы/разности ф-ций равен сумме/разности неопределенных интегралов ф-ций.

5.Если  , то и , где ф-ция  - произвольная ф-ция с непрерывной производной.

Промежуточные равенства 1го и 2го свойств неопред. интеграла приведены для пояснения.

Для доказательства 3го и 4го свойств достаточно найти производные от правых частей равенств:

Эти производные равны подынтегральным ф-циям, что и является доказательством в силу 1го свойства. Оно же используется в последних переходах.

4. Замена переменных в неопределенных интегралах Если в неопред. интеграле  сделать подстановку , где ф-ция   - ф-ция с непрерывной 1ой производной, то тогда   и согласно св-ву 5 неопред. интеграла: Эта формула наз. формулой замены переменной в неопред. интеграле.

5. Интегрирование по частям - 1 из сп-в нахождения интеграла. Суть метода: если подынтегр. ф-ция м.б. предст. в виде произведения 2х непрер. ф-ций (каждая из кот. м.б. элементарной ф-цией или композицией), то справедливы след.формулы для неопред. интегр.: или для определённого: ,если нахождение интегр.   проще, чем  . В др. случае метод неоправдан.

6. Интегрирование рациональных ф-ций Для интегр. рац. ф-ции  , где P(x) и Q(x) - полиномы, используется следующая последовательность шагов: 1.Если дробь неправ. (те. ст. P(x) > ст. Q(x)), преобразовать в прав., выделив целое выраж.; разделим многочл. P(x) на Q(x):

г де   - правильная рациональная дробь.  2.Разложить знамен. Q(x) на произвед.одночл.и/или несократ. квадратичных выраж.; Запишем многочл. знамен. Q(x) в виде , где квадратичные ф-ции явл. несократимыми, те. не имеющими действительных корней. 3.Разложить рац. дробь на простейшие дроби, используя метод неопред. коэфф.; Запишем рац. ф-цию в виде: Общее число неопр. коэфф. A_i , B_i , K_i , L_i , M_i , N_i ... должно быть равно степени знам. Q(x). Затем умножим обе части полученного уравнения на знаменатель Q(x) и приравняем коэфф. при слагаемых с одинаковыми ст. x. В результате получим систему лин. ур-ний относ. неизв. коэфф. A_i , B_i ... Данная система всегда имеет 1 решение. 4.Вычислить интегралы от простейших дробей. Простейшие дроби, полученные при разложении произвольной правильной рациональной дроби, интегрируются с помощью следующих шести формул: , У дробей с квадратич. знамен. выдел. полный кв.: где   Затем прим. формулы: , , . Интеграл   м.б. вычислен за k шагов с помощью формулы редукции

7. Определение опред. интеграла Пусть ф-ция f (x) непрер. на интерв. [a, b]. Определенный интеграл от ф-ции f (x) в пределах от a до b вводится как предел суммы бесконечно большого числа слагаемых, каждое из кот. стремится к 0: , где

8. Св-ва определенного интеграла. f (x) и g (x) - непрер. ф-ции на замкнутом интервале [a, b].

;  где k=const; ; Если   в интерв. [a, b], то Если   для , то .; ; ;

9. Теорема о среднем. f(x) - непрер, заданная на [a, b], то сущ. такая т. , что   Пусть M и m наиб. и наим. знач. f(x) на [a, b]. Составим для f(x) какую-то интегральную сумму     Т.к. при всех k будет m ≤ f(ξ_k) ≤ M, а x_k+1 > x_k, то m(x_k+1 - x_k) ≤ M(x_k+1 - x_k). Складывая такие нерав. и замечая, что     получим: m(b - a) ≤ σ ≤ M(b - a). Переходя в этом нерав. к пределу при λ → 0,при делении на b - a  получаем новое нерав.     .Тогда частное:     есть число, лежащее между наиб.и наим. знач.и непрер. ф-ции. Тогда и само это число должно явл. 1им из знач. той же ф-ции. Поэтому в [a, b] обязательно сущ. такая т. ξ, что h = f(ξ), а это равносильно что    .Рав. справедливо не только при a < b, но и при a = b (тогда обе части =0), а при a > b (приводится к рассмотренному изменением знаков). В первом из этих случаев будет ξ = a, а во втором a ≥ ξ ≥ b.

10. Интеграл с перем.верхним пределом. На [ a, b ] задана непрер. f ( x ), тогда для x [ a, b ] сущ. ф-ция:  задаваемая интегралом с переменным верхним пределом, стоящим в правой ч. рав..На интегр.с перем. верхним пределом распростр. все правила и св-ва определ. интеграла.