Граничные условия

• Решением 2u

2u

является

u f (t z)

t

2

z

2

u

t 0

U 0

(x, y, z)

u

U 0

(x, y, z)

t

t 0

• Граничные условия

первого рода

второго рода

третьего рода

Дирихле

Неймана

Ньютона

uГ ( )

u

u

r

( Г )

Г

r uГ

( )

n

Г

n

Г

06/25/19

11

u

g(x,u)

f

x,u

; u(0) ;

u(b) .

x

x

•

В общем случае

Lu f ;

uГ ( ),

Г

06/25/19

12

•

Решение u(x)

ищется в виде таблицы значений в узлах выбранной

сетки

h

i

i

u

u u(x )

•

дифференциальное уравнение

Lu f , заменяется системой

алгебраических уравнений, связывающих между собой значения

искомой функции в соседних узлах.

•

Такая система алгебраических уравнений называется конечно-

разностной схемой

•

Обозначим

uh

u1 , u2 ,..., un 1

Lh

h

u

fh ,

06/25/19

14

u

g(x,u)

f

x,u

; u(0) ;

u(b) .

x

x

g

i 1/ 2

g

i 1/ 2

g

i 1/ 2

g

i 1/ 2

f

,

i 2...n.

u

u

u

2

h

2

i 1

h

i

h

2

i 1

i

aiui 1 biui ciui 1

,

i 2...n.

fi

u1 ,

u

n 1 ,

06/25/19

15

ai gi 1/ 2 ; ci gi 1/ 2

; b

a

c ;

d

h2

;

i 2...n.

i

f

06/25/19

i

i

i

i

16

•

Ввиду того, что uh uh

, после такой подстановки получается невязка

•

Погрешность аппроксимации

h Lhuh fh 0

•

Основное требование: при

h 0

h 0

•

Ассимптотическая оценка

h

C h p

06/25/19

17

•

Погрешность решения :

h uh uh

h 0 при

h 0

•

Для сходимости к точному решению

•

кроме

h

0

необходима

f%

•

u%

устойчивость к ошибкам округления

u

h

C

f

h

h

0

h

•

Основная теорема

Lhuh

fh

f%

L u

f

h

C0

h

C0C h

p

h h

h

h h

Lh (uh uh ) Lh h h

06/25/19

18

Lu f ;

uГ ( )

- Краевая задача

Г

1 (x), 2 (x),..., N (x)

- базис из функций

N

uN (x) ak k (x).

- Представление решения

k 1

N

ak L k , i f , i ;

i 1..N

- Проекционное уравнение

06/25/19

19