Курс Основы информационных технологий
Раздел
Проекционно-сеточные методы решения уравнений математической физики
(установочная лекция)
Професcор Синицын
Анатолий Константинович
Кафедра ВМиП (а. 412 – 5к) |
1 |
06/25/19 |
Литература
1.Калиткин Н.Н. Численные методы. – М: Наука, 1978.
2.Болсун А.И., Гронский В.К., Бейда А.А. Методы математической физики. – Мн.: Выш. Шк., 1988.
3.Марчук Г.И., Агошков В.И. Введение в проекционно-сеточные методы. – М.: Наука, 1981.
4.Банди Б. Методы оптимизации. Вводный курс. – М.: Радио и связь, 1988.
5.Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. – М.: - Наука, 1980.
6.Синицын А.К. Современные информационные технологии. Проекционно-сеточные методы решения уравнений математической физики. Конспект лекций для аспирантов и магистрантов Мн.: БГУИР, 2004.
7.Синицын А.К. ,Навроцкий А.А. Алгоритмы вычислительной математики. Учебно-методическое пособие. Мн.: БГУИР, 2007
06/25/19 |
2 |
Метод и его погрешность
•При построении вычислительного алгоритма обычно точное решение некоторой задачи
• A(Y)=b |
Y=F(x) |
•представляется в виде бесконечного предела последовательности арифметических и логических действий:
• |
Yh=Mh(x) |
•Mh – метод, h – параметр метода
•При ограничении лишь конечным числом вычислений вносится
|
контролируемая параметром h метода погрешность |
• |
(h)=Y-Yh |
• |
Получение зависимости погрешности решения (h) от |
|
параметров вычислительного метода является одной из основных |
|
задач вычислительной математики |
06/25/19 |
3 |
Порядок погрешности метода (продолжение)
• |
Обычно при уменьшении некоторого параметра h |
||
|
метода погрешность решения h стремится к нулю, |
||
|
т.е. |
h 0 |
h 0 |
• |
при |
||
•В этом случае, если удается получить оценку вида
h Ch p
•где С - const и не зависит от h, считается, что
порядок погрешности равен p и обозначается
коротко |
h o(h p ) |
|
06/25/19 |
4 |
Из математической физики
•Математической моделью поля является функция нескольких переменных, обычно
( x, y, z, t) u( x, y, z, t)
Операторы дифференцирования:
divu, |
v rotu, |
|
r |
, |
2 |
v |
|
|
06/25/19 |
5 |
Операторы дифференцирования
r |
ux |
|
uy |
|
uz |
|
|
||
divu |
x |
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
y |
|
|
|
|||||
grad |
r |
|
r |
|
r |
||||
x x0 |
y y0 |
z z0 |
|||||||
|
|
|
2 |
2 |
|
2 |
|||
2 div( ) x2 |
|
y2 |
z2 |
||||||
r r |
r |
Òu ndS div u dV |
|
S |
V |
Теорема Остроградского – Гаусса
06/25/19 |
6 |
Обыкновенные ДУ
•Система ОДУ первого порядка
du1 |
f (x,u ,u |
2 |
,...,u |
m |
); |
||||||||
• |
dx |
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
.......................................... |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
du |
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
f |
m |
(x,u ,u |
2 |
,...,u |
m |
). |
||||
|
|
|
|||||||||||
dx |
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
•Система ОДУ второго порядка
или коротко
du |
r |
r |
dx |
f |
(x,u). |
|
|
(g |
|
u1 ) q |
u1 |
p u |
f (x,u |
|
,...,u |
|
, u2 |
,..., |
um |
); |
|
||||||
|
|
2 |
m |
|
|||||||||||||||||
1 |
x |
1 |
x |
1 |
1 |
|
|
|
|
x |
|
x |
|
|
|||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
..................................................................................... |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
um 1 |
|
|
|
|
(g |
|
um ) q um p u |
|
f (x,u ,...,u |
m 1 |
, u1 ,..., |
). |
||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||
x |
|
m x |
|
m x |
|
m |
m |
|
|
1 |
|
|
x |
x |
|||||||
r |
u1 |
(x),...,um (x) |
a x b |
|
u |
7 |
|||
06/25/19 |
|
|
||
|
|
|
Задача Коши |
|
|
|
du |
r |
r |
|
|
|
dx |
f (x,u). |
u |
|
|
u (a) u0 ; |
... u |
(a) u0 |
|
||
1 |
|
1 |
m |
m |
|
r |
|
r0 |
|
|
|
u |
(a) u |
|
u0 |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
a |
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
06/25/19 |
|
8 |
|
Краевая задача
Условия заданы на обоих концах отрезка [a,b].
Эта задача обычно ставится для ДУ второго порядка
x ( g ux ) q ux pu f ( x, u)
В общем случае
|
a du(a) |
|
a |
a |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
u(aпри) x; |
a |
|
|
b du(b) |
|
b |
|
b |
|
|
|
dx |
|
|
u(bпри) x; |
b |
|
|
06/25/19
u |
|
u |
x |
0 |
|
a |
b |
|
9 |
ДУ в частных производных (ДУЧП)
u |
|
2u |
|
2u |
|
2u |
f |
- параболические |
|||
t |
x |
2 |
y |
2 |
z |
2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2u |
|
2u |
|
2u |
|
2u |
f |
- гиперболические |
||
t2 |
x2 |
y2 |
z2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||||
2u |
|
2u |
|
2u |
f |
|
|
|||
x2 |
y2 |
z2 |
|
- эллиптические |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
06/25/19 |
10 |