5. Момент инерции материальной точки и абсолютно твёрдого тела. Момент сил. Момент пары сил. Уравнение динамики вращательного движения материальной точки и абсолютно твёрдого тела

Момент инерции

Момент инерции тела относительно оси вращения – физическая величина, равная сумме произведений масс n материальных точек системы (тела) на квадраты их расстояний до рассматриваемой оси.

В случае непрерывного распределения момента инерции твердого тела относительно оси вращения определяется следующим образом:

, где интегрирование ведется по всему объему тела.

Рассмотрим однородный сплошной цилиндр высотой h и радиусом R. Найдем его момент инерции, относительно геометрической оси.

Разбиваем цилиндр на полые цилиндры толщиной dr, с внутренним радиусом r, внешним радиусом r + dr

Теорема Штейнера

Момент инерции тела относительно любой оси вращения равен моменту его инерции относительно параллельной оси, проходящей через центр масс тела, сложенному с произведением массы тела на квадрат расстояния между осями.

Кинетическая энергия вращения

Разбиваем тело на малые объёмы с массами m_i, находящимися на расстоянии r_i от оси вращения.

Учтём, что для абсолютно твёрдого тела угловая скорость вращения малых объёмов одинакова.

Момент сил

Момент силы относительно неподвижной точки – физическая величина, определяемая векторным произведением радиус-вектора силы на саму силу.

Найдем выражение для работы, при вращении тела:

При повороте тела точка А проходит путь dS

С другой стороны:

, где

J – главный момент инерции

Момент пары сил

Две равные по модулю противоположно направленные силы, не действующие вдоль одной прямой, называются парой сил. Расстояние l между прямыми, вдоль которых действуют силы, называется плечом силы.

Суммарный момент сил относительно точки O определяется как:

Учитывая, что , получим:

Момент пары сил будет одинаковым относительно любой точки.

Силы гравитационного и кулоновского взаимодействия между двумя частицами образуют пару с плечом, равным нулю, => их суммарный момент относительно любой точки равен нулю. Моменты внутренних сил попарно уравновешивают друг друга, => сумма моментов всех внутренних сил для любой системы частиц всегда равна нулю:

Равен нулю и суммарный момент относительно любой оси:

Момент импульса

Момент импульса материальной точки относительно неподвижной точки О – физическая величина, определяемая векторным произведением радиус-вектора материальной точки и импульса материальной точки.

, где

L – плечо вектора импульса относительно точки O.

Момент импульса относительно неподвижной оси Z – скалярная величина L_z, равная проекции на эту ось вектора L относительно произвольной точки данной оси:

L_Z = 0 (в предыдущем случае)

Момент импульса твердого тела относительно неподвижной оси:

Момент импульса твердого тела относительно оси равен произведению момента инерции тела относительно той же оси на угловую скорость.

Закон сохранения момента импульса

Продифференцируем момент импульса относительно оси по времени.

– уравнение динамики вращательного движения твёрдого тела относительно неподвижной оси.

ЗСМИ (закон сохранения момента импульса):

Момент импульса замкнутой системы сохраняется, т. е. не изменяется с течением времени, связан с изотропным пространством.