3. Вынужденные колебания. Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний и его решение. Явление резонанса. Резонансные кривые
Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний
Чтобы в реальной колебательной системе получить незатухающие колебания, надо компенсировать потери энергии за счет периодически действующего фактора, изменяющегося по гармоническому закону.
– сила внешняя вынужденная
механические колебания
Электромагнитные колебания:
Колебания, возникающие под действием внешней периодически изменяющейся силы или внешней периодически изменяющейся ЭДС, называются вынужденными механическими или вынужденными электрическими колебаниями.
Запишем для вынужденных колебаний дифференциальное уравнение:
– для механических колебаний
– для электромагнитных колебаний
Решение дифференциального уравнения
Решение дифференциального уравнения для вынужденных колебаний равно сумме общего решения однородного дифференциального уравнения и частного решения неоднородного дифференциального уравнения.
Частное решение будем искать в комплексной форме.
– решение
Такое число можно представить в виде
,
где
Таким образом частное решение неоднородного дифференциального уравнения имеет вид:
Общее решение однородного уравнения:
S2 играет существенную
роль в начальной стадии процесса. В
установившемся режиме вынужденные
колебания происходят с частотой
и являются гармоническими,
и
.
Явление резонанса
Резонанс – это явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты вынуждающей силы к резонансной частоте – той частоте, на которой амплитуда достигает максимума.
Посмотрим, как зависит амплитуда и фаза вынужденных колебаний от частоты.
Продифференцируем подкоренное выражение по и приравняем к 0.
Покажем зависимость амплитуды и фазы от частоты графически.
резонансные
кривые для амплитуды
фазовые резонансные кривые
4. Сложение гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты. Биения. Сложение взаимно-перпендикулярных колебаний
Сложение колебаний одного направления и одинаковой частоты
Сложим гармонические колебания одного направления и одинаковой частоты.
Построим векторные диаграммы этих колебаний.
Тело совершает гармоническое колебание в том же направлении и с той же частотой, что и складываемые колебания.
Проанализируем, как зависит амплитуда от разности фаз:
1)
Амплитуда результирующего колебания равна сумме амплитуд складываемых колебаний.
2)
Амплитуда результирующего колебания равна разности амплитуд складываемых колебаний.
Биения
Рассмотрим случай, когда два складываемых гармонических колебания одинакового направления мало отличаются по частоте, тогда в результате сложения получаются колебания с периодически изменяющейся амплитудой.
Биения – это периодические изменения амплитуды колебаний, возникающие при сложении двух гармонических колебаний с близкими частотами.
Учтём, что
,
тогда
Результирующее колебание можно рассматривать как гармоническое с частотой , амплитуда которого изменяется по закону
Частота биений равна разности частот складываемых колебаний.
Сложение взаимно перпендикулярных колебаний
Сложим два взаимно перпендикулярных колебаний:
В результате получим:
– общий случай уравнения эллипса
Такие колебания называются эллиптически поляризованными:
Рассмотрим частные случаи:
1)
Эллипс вырождается в отрезок прямой.
2)
– стандартные уравнения эллипса
эллипс
вырождается в окружность
При определённом соотношении амплитуд, фаз и частот получим фигуры Лиссажу.
5. Волновые процессы. Механизм образования механических волн в упругой среде. Продольные и поперечные волны. Синусоидальные волны. Уравнение плоской монохроматической волны. Длина волны, волновое число
Волновые процессы
Колебания, возбужденные в какой-либо точке среды распространяются в ней с конечной скоростью, зависящей от свойств среды. Среда рассматривается как сплошная, т. е. непрерывно распределённая в пространстве и обладающая упругими свойствами.
В вакууме
Волной процесс (волна) – процесс распространения колебаний в сплошной среде.
Основное свойство всех волн – перенос энергии без переноса вещества.
Типы волн:
механические;
электромагнитные.
Механические (упругие) – это механические возмущения, распространяющиеся в упругой среде. Бывают продольные и поперечные.
Продольные волны – это волны, в которых частицы среды колеблются в направлении распространения волн (звуковые волны).
Поперечные волны – это волны, в которых частицы среды колеблются в плоскостях, перпендикулярных направлению распространения волны (э/м волны, свет).
Волны распространяются:
продольные в твердых, жидких и газообразных средах;
поперечные – только в твердых телах (в случае механических волн).
Гармоническая волна
Упругая волна называется гармонической, если соответствующее ей колебание частиц среды является гармоническим.
Покажем зависимость смещения всех частиц среды от расстояния до источника колебаний в данный момент времени.
– расстояние до источника
– смещение
Длина волны – расстояние между ближайшими частицами, колеблющимися в одинаковой фазе.
,
где
– скорость волны
k – волновое число
Волновой фронт – это геометрическое место точек, до которых доносятся колебания к данному моменту времени (всегда один).
Волновая поверхность – это геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковой фазе (бесконечно много в конкретный момент времени).
В простейшем случае волновые поверхности представляют собой совокупность плоскостей (плоская волна) или концентрических сфер (сферическая волна).
Уравнение бегущей волны
Бегущая волна – это волна, которая переносит в пространстве энергию.
Рассмотрим плоскую волну:
Тогда уравнение колебаний частиц, лежащих в плоскости x, имеет вид:
– уравнение бегущей волны
Если плоская волна будет распространяться в противоположном направлении, то:
В общем случае уравнение бегущей волны имеет вид:
A – амплитуда
– циклическая частота
– начальная фаза
Для плоской волны уравнение можно представить также в виде
Скорость перемещения фазы волны (фазовая скорость):
Если фазовая скорость волн в среде зависит от их частоты, то это явление называется дисперсией, а среда – диспергирующей.