Сложные проценты

Наращенная стоимость находится по формуле:

,

Наиболее щепетильные кредиторы, принимая во внимание большую эффективность простых процентов на коротких отрезках времени, используют смешанный порядок начисления процентов в случае, когда срок операции (ссуды) не равен целому числу лет: сложные проценты начисляются на период, измеренный целыми годами, а проценты за дробную часть срока начисляются по простой процентной ставке.

,

где a – число полных лет в составе продолжительности операции,

t – число дней в отрезке времени, приходящемся на неполный год,

K –временная база.

Важной особенностью сложных процентов является зависимость конечного результата от количества начислений в течение года.

Номинальная ставка – годовая ставка процентов, исходя из которой определяется величина ставки процентов в каждом периоде начисления, при начислении сложных процентов несколько раз в год.

Эта ставка, во-первых, не отражает реальной эффективности сделки; во-вторых, не может быть использована для сопоставлений.

В финансовых расчетах номинальную сложную процентную ставку принято обозначать буквой j. Формула наращения по сложным процентам при начислении их m раз в году имеет вид:

Непрерывное наращение и дисконтирование

Графически изменение наращенной суммы в зависимости от частоты начисления имеет следующий вид:

Различные варианты начисления процентов

Теоретически можно представить ситуацию, когда начисление сложных процентов производится настолько часто, что общее его число в году стремится к бесконечности, тогда величина промежутка между отдельными начислениями будет приближаться к нулю, то есть начисление станет практически непрерывным. Непрерывная процентная ставка (очевидно, что при непрерывном начислении речь может идти только о сложных процентах) обозначается буквой δ, часто этот показатель называют “сила роста”:

где e – основание натурального логарифма (≈2,71828...),

Сила роста характеризует относительный прирост наращенной суммы за бесконечно малый промежуток времени.

Лекция 3

Тема 3Учет фактора инфляции Учет фактора инфляции

Инфляция – процесс постоянного роста денежной массы над товарной, в результате чего происходит обесценивание денег и рост цен.

Темп инфляции – показатель, характеризующий размер обесценивания (снижение покупательной способности) денег в определенном периоде, выражаемый приростом среднего уровня цен в процентах к их номиналу на начало периода.

Определяется с помощью системы индексов цен – относительных показателей, характеризующих среднее изменение уровня цен некоторого фиксированного набора товаров и услуг (потребительская корзина) за выбранный период времени.

Пусть выбран определенный набор товаров и услуг и пусть за время t его стоимость изменилась от суммы P₁ до суммы P₂. индексом цен I_p за время t называется величина

Индекс цен (Индекс инфляции) – показатель, характеризующий общий рост уровня цен в определенном периоде.

Темпом инфляции за время t называется величина

Темп инфляции показывает на сколько процентов выросли цены за период времени t.

Взаимосвязь между темпом инфляции и индексом инфляции:

Индекс цен за данный период показывает, во сколько раз выросли цены по отношению к уровню цен предыдущего периода. Поэтому, если известны индексы цен I_p1, I_{p2, …}I_pk (или темпы инфляции h_t1, h_t2,…h_tk) за соответствующие периоды времени t₁, t₂, …t_k и эти периоды расположены последовательно друг за другом, то индекс цен за время t = t₁ + t₂ + … + t_k будет равен величине:

в частности, если h_t1 = h_t2 = … = h_tk = h, то

Пусть на капитал Р происходит начисление простых процентов по ставке i в течение времени n и индекс цен за это время равен I_p, тогда , учитывая обесценивание денег за это время, получим

;

Из данной формулы следует, что реальное наращение первоначального капитала с учетом покупательной способности денег будет только в том случае, если 1 + i·n  I_p, то наращение только компенсирует инфляцию. Из этого равенства найдем:

Ставка i^* является минимально допустимой процентной ставкой, при которой не происходит реального уменьшения капитала, несмотря на начисление процентов (эрозия капитала). Ставка, превышающая i^* , называется положительной ставкой.

Для того чтобы в условиях инфляции стоимость первоначального капитала на самом деле росла, исходную процентную ставку увеличивают, т.е. происходит индексация ставка. Такую новую ставку с поправкой на инфляцию условно называют брутто-ставкой. В таком контексте исходную процентную ставку называют нетто-ставкой.

Размер брутто-ставки для обеспечения полной компенсации негативного действия инфляции и получения доходности согласно первоначальной ставке i , определяется из равенства:

- формула Фишера

Таким образом, при инфляции различают следующие виды процентных ставок.

Номинальная процентная ставка – это исходная базовая (как правило, годовая) процентная ставка, указываемая в договорах.

Реальная процентная ставка показывает доходность с учетом инфляции. Реальная процентная ставка в условиях инфляции всегда ниже номинальной и может быть даже отрицательной.

Положительная процентная ставка – эта любая ставка, при которой будет происходить реальное увеличение стоимости капитала при данном индексе инфляции.

Брутто-ставка процента – это по существу любая процентная ставка, превышающая номинальную. Но, как правило, брутто-ставка является положительной процентной ставкой.

В условиях галопирующей инфляции (15-20% в год) используется и плавающая процентная ставка. При начислении простых процентов на вклады и кредиты сроком до одного года применяется формула:

t_k – продолжительность в днях периода, на который установлена процентная ставка i_k,

Т – количество дней в году, обычно принимаемое равным 360.

При очень высокой инфляции (гиперинфляции) самой эффективной является только бартерная сделка, так как любая финансовая сделка из-за чрезвычайного обесценивания денег лишена смысла. В этих условиях происходит разрушение кредитного механизма.

Лекция 4