2. Точечные оценки математического ожидания и среднеквадратического отклонения
Точечные оценки искомых числовых характеристик определяются по следующим формулам
,
.
Для удобства расчетов последовательно заполним столбцы следующей таблицы.
Табл. 2
N |
|
|
|
|
|
1 |
– 10.7 |
3 |
– 32.1 |
114.49 |
343.47 |
2 |
– 10.1 |
4 |
– 40.4 |
102.01 |
408.04 |
3 |
– 9.5 |
6 |
– 57.0 |
90.25 |
541.5 |
4 |
– 8.9 |
13 |
– 115.7 |
79.21 |
1029.73 |
5 |
– 8.3 |
25 |
– 207.5 |
68.89 |
1722.25 |
6 |
– 7.7 |
22 |
– 169.4 |
59.29 |
1304.38 |
7 |
– 7.1 |
15 |
– 106.5 |
50.41 |
756.15 |
8 |
– 6.5 |
7 |
– 45.5 |
42.25 |
295.75 |
9 |
– 5.9 |
4 |
– 23.6 |
34.81 |
139.24 |
10 |
– 5.3 |
1 |
– 5.3 |
28.09 |
28.09 |
|
|
100 |
– 803 |
|
6568.6 |
На основании приведенных в таблице данных можно найти
.
.
.
3. Построение графиков теоретических плотности распределения и функции распределения
Для того, чтобы проверить гипотезу о том, что выборка из нормальной генеральной совокупности, подставим точечные оценки в место неизвестных параметров в плотность распределения вероятности и функцию распределения вероятности. Нормальная плотность распределения вероятности
.
Будем считать, что
.
Результаты расчетов будем заносить в табл. 3.
Сначала найдем
и занесем в третий столбец с округлением
до сотых.
Далее по таблице ищем значения функции
,
соответствующие рассчитанным ранее
значениям
.
При этом пользуемся четностью функции
:
.
Результат заносим в четвертый столбец
табл. 3.
Найдем значения теоретической функции
плотности вероятности
.
Результат заносим в пятый столбец
табл. 3.
Находим значения теоретической функции
распределения
,
где
.
Значения функции
находятся по таблице с учетом того, что
.
Результаты заносим в последний столбец
табл. 3.
Табл. 3
N |
|
|
|
|
|
1 |
– 10.7 |
– 2.42 |
0.0213 |
0.0193 |
0.0078 |
2 |
– 10.1 |
– 1.88 |
0.0681 |
0.0617 |
0.0301 |
3 |
– 9.5 |
– 1.33 |
0.1647 |
0.1493 |
0.0918 |
4 |
– 8.9 |
– 0.79 |
0.2920 |
0.2647 |
0.2148 |
5 |
– 8.3 |
– 0.24 |
0.3876 |
0.3514 |
0.4052 |
6 |
– 7.7 |
0.30 |
0.3814 |
0.3458 |
0.6179 |
7 |
– 7.1 |
0.84 |
0.2803 |
0.2541 |
0.7995 |
8 |
– 6.5 |
1.39 |
0.1518 |
0.1376 |
0.9177 |
9 |
– 5.9 |
1.93 |
0.0620 |
0.0562 |
0.9732 |
10 |
– 5.3 |
2.48 |
0.0184 |
0.0167 |
0.9934 |
Строим на основании расчетов графики теоретических плотности вероятности и функции вероятности на рис. 1 и рис. 2 соответственно.
Вывод: Сравнивая графики теоретических и эмпирических функций, видим, что они достаточно хорошо согласованы. Следовательно, гипотеза о нормальном законе распределения вероятности генеральной совокупности правдоподобна.
(Графики должны быть нарисованы разными цветами, можно карандашом на миллиметровке)
Рис. 1
Рис. 2