5 Определение параметров функциональной зависимости

Для этой цели используем регрессионный анализ на основе метода наименьших квадратов, в соответствии с которым можно записать:

После дифференцирования по А и к получим два уравнения:

или

_(5.1)

Для облегчения расчетов необходимо составить таблицу (табл. 5.1), куда вносятся значения элементов уравнения. Для этого используются средние значения (табл. 3.2, 4.1).

Таблица 5.1 Значения элементов уравнения.

i	yi	xi	Yi=lg yi	Xi=lg xi	YiXi
1	20,42	10	1,310	1,000	1,310	1,000
2	34,16	20	1,533	1,301	1,994	1,693
3	44,44	30	1,648	1,477	2,434	2,181
4	52,62	40	1,721	1,602	2,757	2,566
5	61,64	50	1,790	1,699	3,041	2,887
6	68,04	60	1,833	1,778	3,259	3,161
Сумма:			9,835	8,857	14,795	13,488

П одставляем соответствующие значения параметров (табл. 5.1) в уравнения (5.1)

6·А+к·8,857=9,835

А·8,857+к·13,488=14,795 (5.2)

Для возможности решения этих уравнений умножим первое из них на

(-8,857/6).

Тогда:

Или –8,857А-к·13,074=-14,518

Складываем это уравнение со вторым уравнением системы (5.2).

–8,857А-к·13,074=-14,518

А·8,857+к·13,488=14,795

0,000+к·0,414=0,277

Отсюда к=0,277/0,414=0,669

Для нахождения А подставим значения к в одно из уравнений системы 6.2.

6·А+0,669·8,857=9,835

Тогда а=10^А=10^0,652=4,487

Т.о., функциональная зависимость в частном виде будет иметь вид:

у=4,487·х^0,669 (5.3)

После этого производим вычисление для построения на графике математической кривой:

у₁=4,487·10^0,669=20,94

у₂=4,487·20^0,669=33,29

у₃=4,487·30^0,669=43,67

у₄=4,487·40^0,669=52,94

у₅=4,487·50^0,669=61,46

у₆=4,487·60^0,669=69,43

На основании этих вычислений строим график (рис. 5.1).

Рисунок 5.1 – График зависимости y=f(x), полученный на основании выражения (5.3).

На этот же график наносим результаты экспериментальных исследований (каждые пять точек у для всех значений х), (табл. 3.2).

Далее задача сводится к построению доверительного интервала.

6 Определение доверительного интервала

Построение доверительного интервала и, следовательно, определение доверительной вероятности позволяет оценить степень надежности полученного результата.

Математическое описание доверительного интервала для отдельно взятой точки выражается следующим образом:

_(6.1)

где у – истинное значение измеряемой величины;

– среднее арифметическое значение, полученное в результате

измерений;

Δу – погрешность измерения у.

Вероятность α носит название доверительной вероятности или коэффициента надежности.

Интервал значений от до называется доверительным интервалом, т.е. интервалом, в который попадает истинное значение у с заданной вероятностью.

Чем больше величина доверительного интервала, т.е. чем больше задаваемая погрешность измерений Δу, тем с большей надежностью искомая величина у попадает в этот интервал.

Величина надежности α зависит от числа измерений n произведенных измерений, а также от величины задаваемой погрешности. На практике число измерений всегда ограничено и поэтому, чтобы получить объективную оценку границ доверительного интервала для у, интервал Δу представляется в виде:

Откуда или

Коэффициент t_α предложен в 1908 году английским математиком и химиком В.С. Госсетом, публиковавшем свои работы под псевдонимом «Стьюдент» - студент, и получил в последствие название коэффициента Стьюдента.

С учетом этого коэффициента выражение (6.1) примет вид:

_(6.2)

В таблице (6.1) приведены значения коэффициентов Стьюдента t_α для разных значений надежности α при разных значения n. Считается, что при обычных измерениях можно ограничиться доверительной вероятностью 0,90 или 0,95. Для измерений, по условиям которых требуется чрезвычайно высокая степень надежности, задают доверительную вероятность 0,999. Т.о. на практике пользуются интервалом доверительной вероятности, лежащим в пределах 0,9…0,999.

Таблица 6.1 Значения коэффициентов Стьюдента.

n-1	Значение α
	0,90	0,95	0,98	0,99	0,999
1	6,31	12,7	31,8	63,7	63,66
2	3,92	4,3	6,96	9,92	31,6
3	3,25	3,18	4,54	5,84	12,9
4	2,13	2,78	3,75	4,60	8,61
5	2,02	2,57	3,36	4,03	6,87
6	1,94	2,458	3,14	3,71	5,96
7	1,89	2,36	3,00	3,50	5,41
8	1,86	2,31	2,90	3,36	5,04
9	1,83	2,26	2,82	3,25	4,78

При рассмотрении доверительного интервала функции в целом вычисляются доверительные интервала для а и к, эта задача является гораздо сложней. Для ее решения разработана соответствующая методика.

Чтобы упростить выполнение работы, рассмотрим лишь доверительные интервалы у двух соседних точек (например, при х=30 и х=40).

По (2.1, 2.2 и с учетом табл. 4.2) вычисляем среднеквадратичные ошибки:

Задаемся α=0,95 и по таблице 6.1 находим коэффициент Стьюдента.

t_α =2,78

тогда по (6.2):

44,44-2,78·1,604<у< 44,44+2,78·1,604

или 39,98<у<48,90;

52,62-2,78·2,694<у<52,62+2,78·2,694

или 45,13<у<60,11

Эти граничные значения у наносим на график (рис. 5.1) и соединяем две верзние и нижние точки, получаем в графическом виде доверительный интервал для заданного участка кривой.

В заключение произведем оценку точности измерений. Для этого вводится понятие относительной погрешности ε, равной отношению абсолютной погрешности Δу результата измерений к результату измерений у.

Обычно эта погрешность выражается в процентах.

_(6.3)

Для нашего случая:

Из приведенных вычислений следует, что измерения у при х=40 имеют более высокую погрешность, а точность измерений недостаточно высока (удовлетворительная погрешность результата измерений не должна превышать 10%).

7 вопросы для самопроверки и контроля знаний.

1. Основные источники ошибок.

2. Классы ошибок.

3. Природа систематических и случайных ошибок.

4. Основные положения теории ошибок.

5. Что сделано Гауссом касательно теории ошибок?

6. Среднеквадратичная ошибка отдельного измерения и средняя квадратичная погрешность результата серии измерений.

7. Что такое промах?

8. Технология исключения промахов.

9. Четыре вида зависимости между переменными.

10. Суть регрессионного и корреляционного методов анализа

11. Какими показателями характеризуются тесноты связи между переменными.

12. Как распознается функциональная зависимость результатов измерений.

13. Суть метода наименьших квадратов.

14. Зачем нужен метод выравнивания и в чем он заключается?

15. Что такое доверительная вероятность?

16. Что такое коэффициент Стьюдента и какое его назначение? Кто ввел этот коэффициент?

17. Технология определения доверительного интервала.

18. Какая разница между абсолютной и относительной погрешностями измерений?

При сдаче зачета по дисциплине в целом студент должен ответить и на ниже приведенные вопросы:

1. Значение эксперимента в науке.

2. Принцип действия светолучевого осциллографа.

3. Устройство гальванометра.

4. Принцип действия самопишущего прибора.

5. В каких случаях применяются самопишущие приборы и осциллографы.

6. Тензодатчики. Устройство и принцип действия. В каких случаях применяются рольговые датчики?

7. Технология наклейки тензодатчиков.

8. Соединение тензодатчиков в мостовую схему. Зачем это нужно? В каких случаях используется полумостовая схема сборки?

9. Какая разница между рабочими и компенсационными датчиками?

10. Назначение тензоусилителей и их деление по несущей частоте (низкочастотные и высокочастотные).

11. Комплект аппаратуры при тензометрических измерениях.

12. Зачем нужны экранированные соединительные провода?

13. Что такое тарировка и зачем она нужна?

14. Разница между прямой и косвенной тарировкой?

15. Основные этапы тарировки. Запись осциллограммы, построение графика, определение масштаба записи.

16. Основные виды датчиков для измерения усилий.

17. Датчики для измерения крутящих моментов.

18. Датчики для измерения перемещений.

19. Датчики для перемещения скоростей.

20. Датчики для измерения ускорений.

21. Виброметры и их назначение.

22. Датчики для измерения давления в гидросистемах.

23. Способы измерения электрических параметров: тока, напряжения и мощности.

24. Что такое планируемый эксперимент и случаи, в которых его использование необходимо?

25. Что такое «черный ящик» и его сущность?

26. Факторный эксперимент. Суть и виды.

27. Графическое изображение плана двух- и трехфакторного планируемого эксперимента.

28. Необходимость кодирования факторов.

29. Что нужно составить для планирования эксперимента?

30. В чем заключается суть операции «движение к области оптимума»?