1.5. Блочный принцип построения математической модели

При построении математической модели широко используют блочный принцип, суть которого состоит в том, что модель строится из отдельных логически законченных блоков, отражающих обычно ту или иную сторону рассматриваемого процесса. Это может быть блок кинетики массопередачи, блок гидродинамики, блок фазового равновесия. Блочный принцип построения моделей позволяет:

- разбивать общую задачу построения математической модели на отдельные подзадачи и тем самым упростить ее решение;

- использовать разработанные блоки в других моделях;

- модернизировать и заменять отдельные блоки на новые, не касаясь при этом остальных.

Представление математической модели процесса в виде совокупности подсистем (блоков) позволяет представить общее математическое описание как совокупность математических описаний отдельных блоков. Тогда общая структура математической модели может иметь вид, изображенный на рис. 1.2.

Рис. 1.2. Представление математического описания процесса

Применение блочного принципа построения математических моделей, который, в свою очередь, основан на системном подходе, позволяет во многих случаях также принципиально решить проблему масштабирования процессов. С точки зрения математического моделирования масштабный переход есть не что иное, как деформация математической модели при изменении геометрических размеров, характеризующих аппаратное оформление процесса. При использовании блочного принципа построения математической модели влияние геометрических размеров на свойства процесса отражается лишь в одной подсистеме (блоке) – блоке «гидродинамика». Потому при наличии достаточно корректного в качественном и количественном отношении математического описания этого блока становится возможным осуществить масштабный переход.

Принципиально каждый блок математической модели может иметь различную ступень детализации математического описания. Важно лишь, чтобы входные и выходные переменные всех блоков модели находились во взаимном соответствии, что обеспечит получение замкнутой системы уравнений математической модели процесса в целом. Что касается состава внутренних переменных блоков, то здесь существует достаточно большая свобода выбора. В идеале математическое описание каждого блока должно включать уравнения, параметрами которых являются только физико-химические свойства веществ. Однако получить такое фундаментальное описание отдельных блоков при недостаточной исследованности отдельных явлений во многих случаях в настоящее время не представляется возможным. Это связано, как правило, с чрезвычайным усложнением математического описания блока, что само по себе приводит к резкому усложнения математической модели процесса в целом и, кроме того, может вызвать определенные вычислительные трудности. Поэтому при практическом использовании блочного принципа в математическом описании каждого блока на том или ином уровне его детализации приходится применить эмпирические соотношения.

РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ

Ниже излагаются основные положения регрессионного анализа, применение которого для обработки результатов наблюдений связано с меньшим числом ограничений, чем при корреляционном анализе. Как и корреляционный анализ, регрессионный анализ включает в себя построение уравнения регрессии, например, методом наименьших квадратов и статистическую оценку результатов. Если в регрессионном анализе расчет коэффициентов ведется теми же методами, например наименьших квадратов, то его теоретические предпосылки требуют других способов статистической оценки результатов.

При проведении регрессионного анализа примем следующие допущения:

1) входной параметр x измеряется с пренебрежимо малой ошибкой. Появление ошибки в определении y объясняется наличием в процессе не выявленных переменных и случайных воздействий, не вошедших в уравнение регрессии;

2) результаты наблюдений y₁, y₂,..., y_i,..., y_n над выходной величиной представляют собой независимые нормально распределённые случайные величины;

3) при проведении эксперимента с объёмом выборки n при условии, что каждый опыт повторен m* раз, выборочные дисперсии S₁²,..., S_i²,..., S_n² должны быть однородны. При выполнении измерений в различных условиях возникает задача сравнения точности измерений. При этом следует подчеркнуть, что экспериментальные данные можно сравнивать только тогда, когда их дисперсии однородны. Это означает принадлежность экспериментальных данных к одной и той же генеральной совокупности. Напомним: однородность дисперсий свидетельствует о том, что среди сравниваемых дисперсий нет таких, которые с заданной надёжностью превышали бы все остальные, то есть была бы большая ошибка. При одинаковом числе параллельных опытов однородность дисперсии, как мы уже показали, можно оценить по критерию Кохрена, а для сравнения двух дисперсий целесообразно воспользоваться F-критерием Фишера.

После того как уравнение регрессии найдено, необходимо провести статистический анализ результатов. Этот анализ состоит в следующем: проверяется значимость всех коэффициентов и устанавливается адекватность уравнения.

При моделировании приходится формализовать связи исследуемого явления (процесса), из-за чего возможна потеря некоторой информации об объекте. Иногда некоторые связи не учитываются. В то же время основное требование к математической модели заключается в её пригодности для решения поставленной задачи и адекватности процессу. Регрессионную модель называют адекватной, если предсказанные по ней значения у согласуются с результатами наблюдений. Так, построив модель в виде линейного уравнения регрессии, мы хотим, в частности, убедиться, что никакие другие модели не дадут значительного улучшения в описании предсказания значений у. В основе процедуры проверки адекватности модели лежат предположения, что случайные ошибки наблюдений являются независимыми, нормально распределёнными случайными величинами с нулевыми средними значениями и одинаковыми дисперсиями.

Сформулируем нуль-гипотезу Н₀: «Уравнение регрессии адекватно».

Альтернативная гипотеза Н₁: «Уравнение регрессии неадекватно».

Для проверки этих гипотез принято использовать F-критерий Фишера.

При этом общую дисперсию (дисперсию выходного параметра) S_y² сравнивают с остаточной дисперсией S_y²_ост.

Напомним, что

,

,

где l = k + 1 – число членов аппроксимирующего полинома,

k – число факторов.

Для линейной зависимости k = 1, l = 2.

В дальнейшем определяется экспериментальное значение F-критерия

,

который в данном случае показывает, во сколько раз уравнение регрессии предсказывает результаты опытов лучше, чем среднее

.

Если F > F_α;m1;m2, то уравнение регрессии адекватно. Чем больше значение F превышает F_α;m1;m2 для выбранного α и числа степеней свободы m1 = n – 1, m2 = n – l, тем эффективнее уравнение регрессии.

Рассмотрим также случай, когда в каждой i-й точке x_i для повышения надёжности и достоверности осуществляется не одно, а m* параллельных измерений (примем для простоты, что m* одинаково для каждого фактора). Тогда число экспериментальных значений величины у составит n_Σ = n  m*.

В этом случае оценка адекватности модели производится следующим образом:

1) определяется среднее из серии параллельных опытов при х = х_i:

,

где y_ij – значение параметра у при х = х_i в j-м случае;

2) рассчитываются значения параметра по уравнению регрессии при х = х_i;

3) рассчитывается дисперсия адекватности

,

где n – число значения х_i;

l – число членов аппроксимирующего полинома (коэффициентов b_i), для линейной зависимости l = 2;

4) определяется выборочная дисперсия при х = х_i:

^;

5) определяется дисперсия воспроизводимости:

.

Число степеней свободы этой дисперсии равно m = n  (m* – 1);

6) определяется экспериментальное значение критерия Фишера:

;

7) определяется теоретическое значение этого же критерия F_α;m1;m2, где m1 = n – l, m2 = n  (m* – 1);

8) если F ≤ F_α;m1;m2, то уравнение регрессии адекватно, в противном случае – нет.

Надёжность оценок b_i уравнения регрессии можно охарактеризовать их доверительными интервалами ∆b_i, в которых с заданной вероятностью находится истинное значение этого параметра.

Наиболее просто построить доверительные интервалы для параметров линейного уравнения регрессии, то есть коэффициентов b₀ и b₁. При этом предполагается, что для каждого значения случайной величины x = x_i имеется распределение со средним значением и дисперсией . Иными словами, делается допущение, что случайная величина Y распределена нормально при каждом значении x_i, а дисперсия во всём интервале изменения x постоянна: .

Для линейного уравнения среднеквадратичное отклонение i-го коэффициента уравнения регрессии можно определить по закону накопления ошибок

.

При условии, что , получим:

,

.

и называются соответственно стандартной ошибкой свободного члена и стандартной ошибкой коэффициента регрессии.

Проверка значимости коэффициентов выполняется по критерию Стьюдента. При этом проверяется нуль-гипотеза Н₀: b_i = 0, то есть i-й коэффициент генеральной совокупности при заданном уровне значимости α отличен от нуля.

Построим доверительный интервал для коэффициентов уравнения регрессии

,

где число степеней свободы в критерии Стьюдента определяется по соотношению n – l. Потеря l = k + 1 степеней свободы обусловлена тем, что все коэффициенты b_i рассчитываются зависимо друг от друга, что следует из уравнений

, 4.16

. 4.16а

Тогда доверительный интервал для ∆b_i коэффициента уравнения регрессии составит (b_i – ∆b_i; b_i + ∆b_i). Чем уже доверительный интервал, тем с большей уверенностью можно говорить о значимости этого коэффициента.

Необходимо всегда помнить рабочее правило: «Если абсолютная величина коэффициента регрессии больше, чем его доверительный интервал, то этот коэффициент значим».

Таким образом, если , то b_i коэффициент значим, в противном случае – нет.

Незначимые коэффициенты исключаются из уравнения регрессии, а оставшиеся коэффициенты пересчитываются заново, так как они зависимы и в формулы для их расчёта (4.16) и (4.16а) входят разноименные переменные.