4. Кері матрица. Матрицаның керілену критерийі.

А-ма: А(n x n) квадрат матрица, А^-1 кері матрица, егер осыны А ға көбейтеміз, бірлік матрица шығады. А^-1 *А=А* А^-1 =Е

Ан: B(n x n) кв.мат. detB=0; онда ол ерекше матрица д.а.

А н: А матрицасы одақтас матрицасы деп А^т (траспанирленген) матрицасынының алгебралық толықтауыштарын тұратын А* матрицасын айтамыз.

Т-ма n-өлшемді А матрицаның керісі табылу үшін оның ерекше емес болуы қажет ж/е жеткілікті. Оның келесі формасы орындалады. А^{-1 =} *А^*

Д-у: формуланың орындалатынын көрсетсек т-ма дәлелденді.

= + +....

{анықтауыштың 1-қатары бойынша жіктелуі}≠detA + +.... {анықтауыштың 2-қатары бойынша жіктелуі, бірақ 2-ші қатарда 1-қатардың элементтері тұр.}

=0

Сонымен бұл көбейтіндіде диагоналінде detA болатын, ол қалған элементтері 0-ге тең болатын матрица шығады.

A*А^*= = А^* *A А* А^-1 = А^-1 А=Е=

*A*А^*=Е= = * А^* *A А^-1= * А^*

( *) А^-1=

Гаус

( *) формулаасы 2, 3, 4 болатын матрицаға қолайлы. Ал өлшемділігі үлкен матрицаға Гаус Жордан алгоритмі қолданылады.

~.....~ =>P=А^-1

Мысал: =6-3+0+4-9-0=-2

А^-1= = *=

5. Векторлардың векторлық ж/е аралас көбейтінділері ж/е олардың геометриялық мағынасы.

Екі вектордың векторлық көбейтіндісі

Ан: комплонар емес болсын:

р еттелген үш-гі оң үш-к д.а.егер -ң төбесінен қарағанда : ең кіші бұру сағат тіліне қарама қарсы журсе

реттелген үштігі сол үштік деп аталады. Егер –ң төбесінен қарағанда ең кіші бұру сағат тілімен жүрсе

Ескерту: 1) оң болса мен оң болады. –оң болды.

Ан: Екі вектордың вектордың көбейтіндісі деп векторы = , келесі шарттарды қанағаттандыратын.

1. = =

2. ,

3. -оң үштік c

Т-ма (колениярлық шарттың 3 ші белгісі)

м ен коленияр, тек болғанда ғана. Д/у:=> ║

{ => = sin ^ =0

Векторлық көбейтіндінің қасиеттері

1. мен ң көбейтіндісі ауыстырымды емес.

2. 

3. 

4. 

5. геометр. магынасы

=Sпар.

Sпар.= = ^

H= ^

Т-ма. Декарт координаттар жүйесінде 2 вектордың = = векторлық көбейтіндісі келесі формуласы бойынша жүреді:

=

Дәлелдеу: => j k, -оң үштік

1. = =1

2. ⊥ , ⊥ => ⊥ ; =i , =j

3 Вектордың аралас көбейтіндісі

Ан: мен ның векторлық көбейтіндісін векторына скаляр көбейтсек ның аралас көбейтіндісі шығады.

Қасиеттері:

1. 

2. 

3. 

4. 

5. геометриялық мағынасы

│(ˉa,ˉb,ˉc)│= V паралеллипед.

6. Жаз-ғы түзу-ң теңдеу- түр-рі. Нүктеден түзуге дейінгі арақ-қ. Жазықтықтағы екі түзудің арасындағы бұрыш.

Жазықтықтағы түзу теңдеулердің түрлері

А -ма: Берілген түзуге параллель болатын кез- келген нөлдік емес вектор оның бағыттауыш векторы д.а.

ˉa‌‌ ‌‌ ׀׀P ˉa‌‌-бағыттауыш Р-ң

ˉb‌‌ ‌‌ ׀׀P ˉb‌‌- бағыттауыш Р-ң

Кез келген M(x,y) =

M нүктесі радиус векторы

= ={x,y}

Түзудің теңдеуін жазу үшін о-ң бойында жатқанбір нүкте ж/е бағыттауыш вектор қарастырылады

P түзу берілген

a‌‌‌׀׀P=> ˉa‌‌{e,m},M₀=(x₀,y₀) ЄP

кез келген M(x,y)- ағынды нүкте ЄP

ˉr=ˉr₀+ˉM₀ˉM; P ‌‌‌׀׀ M₀M ׀׀ ˉa‌‌=> Ξλ: ˉM₀ˉM=λˉa‌‌, λ=t

ˉr=ˉr₀ + tˉa‌ ‌ (1)

t€(-∞;+∞)

ˉr={x,y}; ˉr₀={x₀,y₀}

x=x₀+t*l

y=y₀+t*m (2) координаттар теңдуі

t=(x-x₀⁄l)=( y-y₀⁄m) (3) түзудің канондық теңдеуі

Түзудің жалпы теңдеуі

Т-ма: 1) Жазықтықтағы түзу әрқашан келесі бірінші дәрежелі теңдеумен анықталады:

Ax+By+C=0 (4)

2) Кері (4) түрді кез келген теңдеу жазықтықтықтағы түзудің теңдеуі болады.

Д/y :1) (3) түзу (x-x₀⁄l)=( y-y₀⁄m)

Mx+(-l)y+(ly₀-mx₀) =0 m=A; -l=B; ly₀-mx₀=C

Ax+By+C=0

2) Ax+By+C=0 =>(3)

(4)-ң алгебра бойынша САТЖ ретінде қарастырсақ шексіз көп шешімі бар (4) шешімін қарастырсақ: x_0, y₀

Ax₀+By₀+C=0 (5)

(4)-(5)=> A(x-x₀)+B( y-y₀)=0 (6)

(x-x₀⁄(-B))=( y-y₀⁄A) (7)

Салдары1: (7) б-ша ˉb‌‌={-B,A} түзу бағ. ˉb‌‌

Салдары2: (6) ˉN{A,B}

M₀ˉM={ x-x₀ ; y-y₀}, (ˉN, M₀ˉM)=0 => ˉN ┴M₀ˉM => ˉN ┴P

Ан: Ax+By+C=0 түзудің жалпы теңдеуі д.а.

ˉN={A,B} о-ң нормаль векторы д.а.

2 нүкте арқылы өтетін түзудің теңдеуі

a= ˉM ₁ˉM₂ ׀׀P={x₂-x₁; y₂-y₁}

(3)=(x-x₁)/(x₂-x₁)=(y-y₁)/(y₂-y₁) (8)

2 түзудің арасындағы бұрыш

2 нормаль арасындағы бұрыш

P₁׀׀ P₂ A₁ x+B₁ y+C₁ =0 ˉN₁={A₁ ,B₁}

P₁׀׀ P₂ A₂ x+B₂ y+C₂ =0 ˉN₂={A₂ ,B₂}

Cosα=(ˉN₁,ˉN₂)/ ׀ˉN₁׀ ׀ˉN₂=( A₁ A₂+ B₁ B₂)/(√ A₁²+ B₁²√ A₂²+ B₂²)

Cosβ=cos(180-α)=-cosα

P₁: y=k₁ x+b_1, P₂: y=k₂ x+b₂

k₁=tgα_1, k₂=tgα₂

tgψ = tg(α₂- α₁)=( tgα₂- tgα₁)/(1+ tgα₁·tgα₂)=( k₂- k₁)/(1+ k₁·k₂)

P₁ ┴ P₂  k₂- k₁=0  k₂=k₁

7. Жаз-ң теңд-ң түр-і. Нүктеден жаз-қа д-гі арақ-қ. Екі жаз-ң ар-ғы бұрыш.

Жазықтықтың теңдеулерінің түрлері

Жазықтықта жататын кез-келген 2 коллиниар емес вектор оның бағыттауыш векторлары деп аталады. Жазықтықтың теңдеуін жазу үшін 3 нәрсе к/к.: 1нүкте ж/е 2 бағыттауыш вектор.

жазықтық

, бағыттауыш вектор

,бағыттауыш вектор,

, параллель емес векторлар

- ағымдағы нүкте

- =

( , )- базис

;

-

= - жазықтықтың векторлық, параметрлік теңдеуі

(2) жазықтықтың координаттық, параметр-к теңдеуі.

компланар векторлар болуы қажетті және жеткілікті

( , )=0

=0 (3)

Жазықтықтың жалпы теңдеуі

Т-ма: 1) Аффин координат-р жүйесінде кез-келген жазықтықтың теңдеуі кеңістікте бірнеше дәрежелі теңдеумен жазылады.

(4)

2) Кез келген (4) түрдегі теңдеу кеңістікте жазықтықты анықтайды.

Декарт координаттар жүйесінде (А,В,С) – жазықтықтың нормаль векторы д.а.

Үш нүкте арқылы жазылған жазықтықтың теңдеуі.

бір түзудің бойында жатпайды.

( 3)

= 0 (8)

Кесінділер арқылы берілген жазықтықтың теңдеуі

( 4) / -D

(9)

= a; = b; = c.

1 ) x=0 y=0 z=c

2 ) x=0 z=0 y=b

3 ) y=0 z=0 x=a

Екі жазықтықтың орналасуы және арасындағы бұрыш.

1 )

2) 3)

Екі жазықтықтың арасындағы бұрыш – ол нормаль-р-ң арасындағы бұрыш.

Нүктелердін жазықтыққа дейінгі арақашықтығы.

Ax+By+C+D=0;

d-? (арақашықтық)

M(x,y,z)

d= = = =