3.5. Анализ доходности и риска финансовых операций на основе принципа оптимальности Парето

Финансовой называется операция, начальное и конечное состояния которой имеют денежную оценку, цель проведения которой заключается в максимизации дохода - разности между конечной и начальной оценками.

Обычно финансовые операции проводятся в условиях неопределенности и потому их результат невозможно предсказать заранее. Поэтому финансовые операции рискованны, т.е. при их проведении возможны как прибыль, так и убыток (или незначительная прибыль по сравнению с ожидаемой).

Существует несколько способов оценки финансовой операции с точки зрения ее доходности и риска. Наиболее часто доход операции представляется случайной величиной Q, а риск операции r оценивается средним квадратическим отклонением этого случайного дохода.

Постановка задачи в общем виде. Пусть А – некоторое множество операций, которые различаются хо­тя бы одной характеристикой. При выборе наилучшей опе­рации желательно, чтобы Q было больше, а r меньше.

Считают, что операция а доминирует операцию b (обозначается а > b), если Q (а) ≥ Q (b) и r(a) ≤ r(b) и хотя бы одно из этих неравенств строгое. При этом операция а называется доминирующей, а операция b – доминируемой. Причем никакая доминируемая операция не может быть признана наилучшей, поэтому наилучшую операцию следует искать среди недоминируемых операций. Множество недоминируемых операций называется множеством (областью) Парето или множеством оптимальности по Парето⁴.

Для множества Парето справедливо утверждение: каждая из характе­ристик Q, r является однозначной функцией другой, т.е. на множестве Парето по од­ной характеристике операции можно однозначно определить другую.

Пример. 3.8. Из четырех возможных финансовых операций с ожидаемыми доходностями Q₁, Q₂, Q₃, Q₄ и соответствующими вероятностями их получения p₁, p₂, p₃ , p₄ необходимо выбрать операцию оптимальную по Парето.

Значения ожидаемых доходностей q_j и соответствующих им вероятностей p_j приведены в следующей матрице

p₁ p₂ p₃ p₄

1/2 1/6 1/6 1/6

Q₁ 1 2 3 5

Q₂ 2 0 5 8

Q₃ 3 4 5 8

Q₄ 3 3 6 7 .

Решение

Поскольку ожидаемый доход финансовой операции считается случайной величиной Q, то его среднее значение оценивают математическим ожиданием: , (3.16)

где p_{i j} - вероятность получения дохода q_{i j} в i – ой финансовой операции.

Количественной мерой риска r финансовой операции считается  - среднее квадратическое отклонение

r _i = , (3.17)

которое характеризует степень разбросанности возможных значений дохода вокруг среднего ожидаемого дохода. Дисперсию доходности D[Qi] удобно оценивать по формуле: D[Q i] = M [(Q i - ) ² ] = M [Q _i ² ] – [ ] .

Здесь M [Q _i ² ] =  q ²_{i j} p_{i j} – математическое ожидание квадрата ожидаемой доходности в i-ой финансовой операции.

Расчеты средних ожидаемых доходов и рисков по вышеприведенным формулам выполним в среде Excel. Рабочий лист с исходными данными, расчетными формулами и результатами расчета средних доходностей Q _{c p} и риска r приведен на рис. 3.14.

Рис. 3.14. Общий вид рабочего листа с результатами расчета

Найденные в результате расчета средние ожидаемые доходыQ_i и соответствующие им риски r_i нанесем на график в системе координат: доход (вертикальная ось) - риски (горизонтальная ось), рис. 3.15.

Рис. 3.15. Графическая интерпретация результатов расчета эффективности финансовых операций в системе координат: ожидаемая доходность – риск

Проанализируем взаимное расположение 4-х точек на графике с позиции их доминирования. Чем выше точка (Q, r), тем более доходная операция, чем точка правее - тем операция более рисковая. Значит, нужно выбирать точку выше и левее. Точка (Q, r) доминирует точку (Q, r) если Q Q и r  r. В данном случае 1-я операция доминирует 2-ю, 3-я доминирует 2-ю и 3-я доминирует 4-ю. Но 1-я и 3-я операции несравнимы - доходность 3-й больше, но и риск ее тоже больше.

Точка, не доминируемая никакой другой называется оптимальной по Парето, а множество всех таких точек называется множеством оптимальности по Парето. Выбор лучшей из рассматриваемых операций производится обязательно из операций, оптимальных по Парето.

Для нахождения лучшей операции иногда применяют взвешивающую формулу, которая для пар (Q, r) дает одно число, по которому и определяют лучшую операцию. Например, пусть взвешивающая формула имеет вид:

(Q ) = 2 Q - r . Тогда получаем: (Q ₁) = 2*4,83 -1,77 = 7,89; (Q ₂) = 4,75; (Q ₃)= 11,69; (Q ₄)= 3,12.

На рис. 3.16. приведена графическая иллюстрация результатов, полученных с помощью взвешивающей формулы.

Рис.3.16. Множество операций

Из последнего рисунка видно, что 3-я операция – лучшая, расположена в правом верхнем углу графика, а 4-я – худшая занимает левый нижний угол.