Тема 3. Количественные характеристики и схемы оценки рисков в условиях неопределенности

3.1. Матрица последствий и матрица рисков

В рисковой ситуации из-за отсутствия необходимой информации результаты деятельности предприятия невозможно представить вероятностными моделями. Такая неопределенность обычно вызывается действием внешних факторов, именуемых «природа».

Процедура принятия решения в данных условиях рассматривается как «игра» между субъектом «игрок 1» (лицо принимающее решение, в дальнейшем ЛПР), который при выборе рискового решения действует сознательно и природой (среда предпринимательства) «игрок 2», который сознательно против «игрока 1» не действует, а выступает как партнер по игре.

Математические модели выбора при принятии решений в условиях неопределенности строятся на основе теории игр.

Выбор решений в условиях неопределенности включает:

- построение платежной матрицы (эффектов) и матрицы риска (ущерба или упущенных возможностей);

- количественную оценку вариантов.

Исходной информацией для принятия решений является платежная матрица (матрица последствий, матрица игры с природой).

Платежная матрица - статистический метод принятия решения на основе выбора наилучшего варианта из нескольких альтернатив по заранее выбранным критериям.

М атрица вида , (3.1.)

называется платежной. Здесь A_i – вариант i-го решения (i=1,..,m), S_j – ситуация или состояние среды (j=1,..,n), a_{i j} – ожидаемый выигрыш субъекта при выборе i-го варианта решения и j-ом состоянии среды (ситуации).

Элементы a_ij платежной матрицы отражают оценку последствий (платежи) при различных вариантах действий. Значения a_{i j} могут быть как положительными (оценивают эффект), так и отрицательными (оценивают ущерб).

Платеж представляет собой вознаграждение (полезность), полученное вследствие выбора конкретной стратегии A_i с учетом конкретных обстоятельств S_j .

Платежная матрица обычно используется в следующих случаях:

1) когда ограничено число альтернатив или вариантов стратегии;

2) при отсутствии полной определенности в исходе выбранного варианта решения;

3) когда результаты принятого решения зависят от выбора альтернативы и обстоятельств, которые в действительности имеют место.

Необходимые расчеты по выбору оптимального решения удобно вести в среде Excel. Общий вид платежной матрицы с дополнительной строкой и двумя столбцами, в которые заносятся наибольшие a _{j max}, a _{i max} и наименьшее a _{i min} значения выигрышей, представлен на рис. 3.1.

Рис. 3.1. Макет платежной матрицы в Excel

Каждая строка матрицы соответствует одному из вариантов альтернативных решений A_i, а каждый столбец - одной из возможных ситуаций S_j, которые могут возникнуть при разных значениях отсутствующей у ЛПР информации об условиях решения проблемы или об ожидаемых результатах.

Задача игрока сводится к выбору такого варианта, который бы обеспечил наибольшую выгоду по сравнению с другими.

Дополнительно к этому ЛПР должно располагать возможностью объективной оценки вероятности релевантных событий (для которых получаемый результат соответствует желаемому) и расчета ожидаемого значения такой вероятности. Ситуации полной определенности (вероятность p – близка к 1,0), либо полной неопределенности (вероятность близка к нулю) проявляются редко. Поэтому ЛПР во многих случаях приходится самостоятельно оценивать вероятность или возможность появления j-го события (условия частичной неопределенности, когда 0<p<1,0) на основе анализа прошлых тенденций, своей субъективной оценки или собственного опыта действий в подобных ситуациях.

Учет вероятности прямо влияет на определение ожидаемого значения в платежной матрице. Неучет вероятности в расчетах приводит к выбору решения с более оптимистическим последствием.

При количественной оценке альтернативных вариантов возможны два случая.

1-й случай. Вероятности возникновения каждой j-ой ситуации определяются по результатам обработки статистических наблюдений.

Для каждой альтернативы определяется математическое ожидание значения альтернативы или варианта стратегии, которое представляется суммой произведений возможных значений a _{i j} на соответствующие вероятности p _j :

. (3.2)

Затем выбирается альтернативный вариант A _i , для которого математическое ожидание выигрыша окажется максимальным, т.е. .

Общий вид платежной матрицы с вероятностями возникновения j-ой ситуации приведен на рис. 3.2.

Рис. 3.2. Макет платежной матрицы с учетом вероятностей

2-й случай. Статистические данные о значениях вероятности p_j отсутствуют, тогда производится экспертная оценка вероятности появления j-ой ситуации.

Экспертам предлагаются три значения ожидаемой величины S _j, характеризующей ситуацию: оптимистическую, пессимистическую и наиболее вероятную (модальную). С помощью таких тройственных оценок приближенно определяется математическое ожидание прогнозируемой величины, т.е. средневероятное значение S ^c_j. При биноминальном распределении можно использовать следующую расчетную формулу:

S ^c_j = 1/6 [( S _j )min + 4( S _j )max]. (3.3)

Исходные данные могут представляться и виде матрицы рисков.

Матрица рисков (матрица упущенных возможностей) − матрица, в строках которой расположены альтернативные варианты рисковых событий, а в столбцах – их вероятности свершения и возможные последствия (ситуации).

Количественной оценкой риска для каждого i-го решения при j-ой ситуации принято считать разницу между максимально возможным для этой ситуации эффектом (a_j )_max и его фактическим значением a _ij :

r _ij = (a_j )_max – a _ij . (3.4)

Тогда матрица рисков записывается в следующем виде:

, (3.5)

где r _ij – ожидаемые потери субъекта при реализации им i-го решения варианта A_i (i=1,..,m) при реализации j-го варианта состоянии среды S_j (j=1,..,n).

Оптимальному варианту решения соответствует минимальное математическое ожидание риска:

, (3.6)

где p_j – вероятность появления j-ой ситуации.

Пример 3.1. По известной платежной матрице (эффектов и ущерба)

S₁ S₂ S₃ S₄ S₅

A₁ 1 2 3 5 5

A₂ 2 0 5 8 7

A₃ 3 4 5 8 7

A₄ 3 3 6 7 5

необходимо построить матрицу рисков и выбрать альтернативное решение без учета данных о вероятности отдельных ситуаций и с учетом ожидаемых значений вероятностей реализации той или иной ситуации р₁=0,10; р₂=0,25; р₃=0,30; р₄=0,15; р₅=0,20.

Решение.

1. Элементы платежной матрицы вводятся в Excel и оформляются в виде таблицы с необходимыми комментариями, рис. 3.3.

Рис. 3.3. Исходные данные, расчетные формулы и результаты расчета

2. Используя встроенную функцию МАКС вычисляются наибольшие значения элементов матрицы по каждой j-ой ситуации (a_j)_max: (a₁)_max = 3; (a₂)_max = 4; (a₃)_max = 6; (a₄)_max = 8; (a₅)_max = 7, по которым можно установить номера вариантов решений соответствующих максимально возможным значениям эффекта.

Если элементы исходной матрицы характеризуют ущерб, то рассматривается противоположная задача c вычислением минимального размера возможного ущерба (функция МИН) (a _j)_min: (a₁)_min = 1; (a₂)_min = 0; (a₃)_min = 3; (a₄)_min = 5; (a₅)_min = 5 и последующим определением соответствующего номера варианта решения (на рис. 3.3 строка a _{j min} не показана).

Аналогично можно поступить с оценками максимально (a_i)_max или минимально (a_j)_min возможного эффекта (ущерба) по каждому i –му варианту решения при изменении ситуации (см. рис. 3.3, последние два столбца).

3. Рассчитываются оценки риска для каждого i-го решения при j-ой ситуации с использованием выражения (3.4) и заполняется матрица риска, рис. 3.4.

Рис. 3.4. Матрица риска и расчетные формулы

4. Из альтернативных вариантов, можно выбирать оптимальный вариант решения с минимальным значением риска, ему соответствует вариант А3.

5. По выражению (3.6) производится расчет риска операций с учетом вероятности появления j-ой ситуации и заполняется графа Риск, рис.3.5.

Рис. 3.5. Результаты оценки рисков альтернативных вариантов

По результатам расчета (ячейки G26:G29) выбирается оптимальный вариант А₃, с минимальным математическим ожиданием риска равным 0,3.