2.5.2. Статистические показатели риска

Хотя статистические показатели по информативности уступают вероятностным, но они широко используются для оценивания уровня риска. Группу статистических показателей оценки риска составляют:

- среднее значение (математическое ожидание) ожидаемого результата деятельности (математическое ожидание);

- разброс (колеблемость) возможного результата деятельности относительно среднего значения.

Среднее значение ожидаемого результата деятельности (или финансовой операции ³) для дискретных величин определяется средневзвешенным из всех возможных значений результата x_i и вероятностей их появления p_i:

(2.20)

где n – число наблюдений.

Если появление всех значений x_i в выборке равновероятно, то рассчитывается выборочная средняя:

(2.21)

Средняя арифметическая = a определяет положение центра распределения кривой нормального распределения, рис. 2.25а.

a) б)

Рис. 2.25. Влияние статистических показателей на положение и форму кривой нормального распределения: а) влияние средней арифметической, б) влияние среднего квадратического отклонения

Изменение a при неизменных остальных условиях (постоянстве σ) приводит к смешению кривой вдоль оси абсцисс без изменения ее формы.

В среде Excel для вычисления используется функция СРЗНАЧ(число1;число2;...).

Пример 2.8. Оценить среднее значение доходности вложения капитала для двух вариантов. Исходные данные приведены на рис. 2.26.

Рис. 2.26. Исходные данные и результаты расчета средней доходности по формуле (2.6)

Сравнение доходностей двух вариантов вложений капитала (2.7) показывает, что второй вариант более предпочтителен, поскольку для него средняя величина превышает значение . Но такое сравнение не позволяет сделать окончательный выбор, поскольку оно не учитывает степень риска конкретного вложения, которая характеризуется колеблемостью результата относительно среднего значения.

Разброс (колеблемость) возможного результата деятельности относительно среднего значения оценивается показателями вариации (абсолютными или относительными).

К показателям вариации относятся: размах вариации, дисперсия, среднее квадратическое отклонение, доверительный интервал, коэффициент вариации.

1. Размах вариации ожидаемого результата – простейший абсолютный статистический показатель разброса. Рассчитывается как разность:

R = x_max - x_min , (2.22)

где x_max , x_min – наибольшее и наименьшее значение результата в выборке, соответственно.

Большему размаху вариации соответствует больший риск. Поскольку данный показатель учитывает только крайние значения, то он применяется для достаточно однородных совокупностей.

2. Дисперсия (для дискретных случайных величин) – средневзвешенная величина из квадратных отклонений действительных результатов от средних ожидаемых:

(2.23)

Для равновероятных значений дисперсия для генеральной совокупности рассчитывается по формуле

. (2.24)

Вычисление дисперсии по последнему выражению можно произвести в среде Excel с помощью функции ДИСПР(число1; число2;…) в категории Статистические.

Выборочная дисперсия представляет собой смещенную оценку теоретической дисперсии. Предпочтительнее использовать несмещенную оценку дисперсии , которая рассчитывается по формуле .

Для вычисления выборочной дисперсии в среде Excel имеется функция ДИСП(число1; число2;…).

3. Среднее квадратическое отклонение является именованной мерой колеблемости (разброса) данных относительно их среднего значения.

Для оценки стандартного (среднего квадратического) отклонения по генеральной совокупности используются следующие формулы:

, (2.25)

и для равновероятных значений . (2.26)

Последнее выражение реализовано в статистической функции Excel СТАНДОТКЛОНП(число1; число2;…).

Оценка стандартного отклонения по выборке для несмещенной оценки производится по выражению , здесь применяется функция СТАНДОТКЛОН(число1; число2;…) – по выборке.

Влияние значения σ_x при неизменном значении средней арифметической на форму кривой нормального распределения приведено на рис. 2.25б. Из рисунка видно, что с увеличением σ при неизменной а кривая становится более пологой, а с уменьшением σ – более крутой.

4. Доверительный интервал – интервал, ограниченный нижним и верхним доверительными пределами, в котором с заданной вероятностью р располагаются возможные значения результата (см. рис. 2.22). Доверительный интервал рассчитывается по известным значениям выборочного среднего ожидаемого значения и его колеблемости σ_x. Для этой цели может использоваться функция Excel ДОВЕРИТ(альфа;станд_откл;размер), которая рассчитывает значение предельной ошибки выборки  = t _x . Здесь t – коэффициент доверия, _x – средняя ошибка выборки.

Поскольку выборочное среднее является серединой этого диапазона, то доверительный интервал определяется как ( ± ДОВЕРИТ). Например, если – это среднее выборочное значение времени доставки товаров, то математическое ожидание генеральной совокупности принадлежит интервалу ( ± ДОВЕРИТ). Функция ДОВЕРИТ возвращает значение, с помощью которого можно определить доверительный интервал для математического ожидания генеральной совокупности. Способ построения доверительного интервала для математического ожидания зависит от того, известно ли значение дисперсии σ_x².

5. Коэффициента вариации – отношение среднего квадратического отклонения к среднему ожидаемому значению, которое показывает степень отклонения полученных значений. Данный коэффициент выражает количество риска приходящегося на единицу среднего дохода:

k v = . (2.27)

Принято считать: если k _v < 10 %, то колеблемость слабая; если 10 - 25 %, то умеренная и если > 25%, то колеблемость высокая.

По коэффициенту вариации судят об однородности исследуемой совокупности, если k _v < 33%, то совокупность считается однородной.

Принятие решений в условиях риска чаще всего основывается на одном из следующих критериев:

1) ожидаемого значения (доходности, прибыли или расходов).

2) выборочной дисперсии σ_x² или стандартного (среднего квадратического) отклонения σ_x.

3) комбинации ожидаемого значения и дисперсии σ_x² или среднего квадратического отклонения выборки σ_x.