2.2.1 Анализ стабильности квадратурной петли обратной связи

Ниже приведено математическое обоснование нестабильности петли и, как следствие, смещения фазы сигнала.

Для начала убеждаемся в том, что символ S’(сигнал, прошедший усилительный тракт) смещен относительно S (исходного сигнала) на фазу φ:

(41)

где ω частота несущей. Используя тригонометрические формулы и учитывая, что частотные компоненты 2ω отфильтровываются, мы получаем для S’:

(42)

Видно, что для φ≠0 возбуждение на входе I модулятора представляет сигнал Q’ на выходе преобразователя (аналогично для Q и I’). Таким образом, утверждаем, что две петли соединены.

Один из методов анализа устойчивости основан на представлении сигналов ошибки и . Вернемся к простой ОС, сигнал ошибки будет выглядеть следующим образом:

(43)

Изменение фазы представлено величиной φ.

(44)

где L(s) включает изменение в цепи схемы компенсации H(s) и изменение (линеаризацию) введенное модулятором, усилителем мощности и демодулятором. Это легко показать с помощью:

(45)

Сокращение записи до представления одного входа дает простоту понимания. Эффективность цепи передачи можно представить параметром :

(46)

В идеальном случае, когда уход фазы и повторяет , в наихудшем случае уход фазы , тогда . Если не учесть такой сдвиг, то получим существенно нестабильную систему. Выражение показывает ухудшение стабильности в связи с изменением фазы от 0 до π/2.

2.3 Спектральный анализ процесса линеаризации с помощью квадратурной петли обратной связи

Анализ заключается в определении спектра сигнала на выходе усилителя мощности с использованием петли обратной связи и без использования петли обратной связи [22]. Для упрощения понимания схему на рисунке 29 заменим более простым видом, как на рисунке 31.

Рис. 31 Модель для анализа

На рисунке 31 петля обратной связи разомкнута.

Рис. 32 Квадратурный модулятор

На рисунке 32 V_c – входное колебание, a₁ и a₂ – смещения реальной и мнимой части входного сигнала, они представлены в виде части (в процентах) от желаемой амплитуды, α и β – суммарные сигналы I и Q каналов. Отношение α/β – представлено далее как (1+ε), где ε – усиление.

Сигнал на выходе квадратурного модулятора описывается следующим выражением:

, (47)

где .

Возвращаясь к рисунку 31, выходное колебание будет иметь вид:

(48)

где и – комплекс вещественных чисел.

Дальнейший анализ проведен на основе однотонального сигнала, поступающего на вход схемы на рисунке 31. В результате анализа вычислены спектры сигнала после модулятора и усилителя мощности.

На вход схемы поступает сигнал:

(49)

Используя матрицы в выражении (47) на выходе модулятора будем иметь сигнал вида:

(50)

Так как квадратурный модулятор линейное устройство, две компоненты выражения V_q могут быть вычислены независимо, а после просуммированы. Первая часть выражения V_q1 можно записать:

(51)

Вторая часть выражения V_q2 выглядит следующим образом:

(52)

Складываем два полученных выражение и берем преобразование Фурье:

(53)

где - дельта-функция Дирака.

Упрощая последнее выражение, сохраняя только низкочастотные составляющие порядка меньше 3, получаем выражение для спектра сигнала после квадратурного модулятора:

(54)

Далее представлен спектр сигнала на выходе усилителя. Возвращаясь к выражению (48) запишем:

(55)

где .

Свертка представляет собой удобный способ нахождения спектра сигнала на выходе усилителя. Спектр, соответствующий представляет собой свертку , где ( )- свертка, (*) – комплексно-сопряженное. Тогда итоговое выражение свертки будет выглядеть следующим образом:

(56)

Свертка со своим квадратом дает спектральные составляющие третьего порядка:

(57)

где

Для получения окончательного выражения спектра сигнала на выходе усилителя, линейное выражение и кубическое выражение масштабируются с помощью факторов и соответственно и суммируются. В результате получается спектр следующего вида:

(58)

В последнем выражении переменные x и y определены выше. Также выражение показывает, что для тональной модуляции выходная мощность усилителя на частотах и находится в квадратичной зависимости от обоих сигналов ошибки модулятора и нелинейности усилителя мощности.

В цепи обратной связи после демодуляции составляющие , , , поступят на дифференциальные усилители, которые изменят знак перед ними и произведут добавку к исходному сигналу, который далее поступит в тракт для линеаризации. Графически это показано на рисунке 33. Структура на рисунке 33 описана выше в пункте 2.2.

Рис. 33 Введение предискажений схемой декартовой петли