Из уравнения (25) записываем также линейное уравнение

(30)

со следующими матрицами частных производных

(31)

Рассматривая системы стабилизации, можно записать линеаризованные уравнения в отклонениях переменных и управляющего воздействия в точке равновесного состояния

(32)

где , , , – стационарные матрицы.

В том случае, когда осуществляется линеаризация относительно опорной исходного сигнала без искажений – системы слежения за искажениями с параметрами соответствующие частные производные будут являться функциями времени. Линеаризованные уравнения для системы слежения имеют аналогичный вид как уравнения (32) и записываются

(33)

где матрицы коэффициентов являются нестационарными функциями времени.

Если система имеет одно управляющее воздействие и один выходной сигнал, то уравнения (32), (33) записываются в виде

(34)

или

(35)

где – векторы соответствующей размерности; – скалярные переменные.

• Второй метод линеаризации

В некоторых случаях нелинейные характеристики систем и объектов задаются в графическом виде. Например:

. (36)

Линеаризацию таких характеристик проводят графическим образом (рис.28). В точке равновесного состояния с координатами криволинейная функция заменяется касательной. Вместо частных производных определяются частные разности . Тогда в пределах интервала можно записать равенство

. (37)

Обозначая , запишем линеаризованное уравнение

. (38)

Графически это показано на рисунке

Рис. 28 Графическая линеаризация криволинейной функции

В итоге, структура, показанная на рисунке 27 представляет собой цепь обратной связи, передаточные характеристики которой описываются через матрицы Якоби A, B, C, D. Графически процесс линеаризации описывается с помощью рисунка 28. Если в качестве координат по оси X взять Р_вх, а в качестве координат по оси Y Р_вых, то получится функция следующего вида P_вых = f(P_вх), называемая передаточной. У идеального усилителя она представляет линейную зависимость увеличения выходной мощности относительно входной. У реальных усилителей она нелинейна. Нелинейность передаточной характеристики усилителя оценивается с помощью параметров, описанных, описанных в пункте 2.4.

2.2 Анализ работы петли квадратурной обратной связи

Структурная схема модели линеаризатора методом декартовой петли обратной связи представлена на рисунке 29. От рисунка 15 она отличается представленными сигналами для лучшего понимания работы метода. Она построена по структуре на рисунке 27. Работа анализируется на основе обычной петли обратной связи на радиочастоте [13].

Рис. 29 Структурная схема модели линеаризатора методом декартовой петли обратной связи

Блоки H(s) представляют собой передаточные характеристики усилителей, далее сигнал поступает на преобразователи синфазной и квадратурной составляющих (производится перенос спектра на несущую), затем сигнал проходит через нелинейный усилитель мощности, после сигнал разветвляется с помощью направленного ответвителя. Сигнал снимаемый с ответвителя подвергается обратному преобразованию с формировнием синфазной и квадратурной составляющих.

(39)

где

Терминологию и математические действия во время квадратурной петли ОС можно пояснить с помощью рисунка 30.

Рис. 30 Простейшая схема обратной связи

Сигнал e(s) – сигнал ошибки или разность входного X(s) и сигнала обратной связи. Характеристика на выходе данной схемы Y(s) представляется следующим отношением:

(40)

Выражение представляет собой петелвое усиление системы, в дальнейших выкладках сделана замена .

Таким образом, от обычной петли обратной связи квадратурная петля ОС отличается смесителями и преобразователями, которые разделяют сигнал на I и Q составляющие. Но на этом этапе и появляется основная сложность, потому что устойчивость данной схемы является одним из ключевых вопросов. На сдвиг фазы φ влияет очень много параметров, такие как сдвиг фазы в усилителе мощности, температура и другие, которые должны учитываться в цепи ОС и, перед сложением с исходным сигналом, корректироваться.