Глава 2. Разработка математической модели усилителя мощности с функцией линеаризации

2.1 Модель структуры организации обратной связи усилителя мощности

В данном разделе описана структура линеаризации по методу обратной связи через пространство состояний [21].

Пространство состояний – конечномерное пространство, которому принадлежит вектор состояния обыкновенного дифференциального уравнения в форме Коши.

Линеаризация – выделение из векторного дифференциального уравнения в форме Коши линейной части с помощью матриц Якоби (производных Фреше) при малых отклонениях относительно выбранной (номинальной, рабочей) траектории «вход-состояние».

Нелинейные системы, описываются многомерными линейными дифференциальными уравнениями, в общем случае с нестационарными параметрами:

Система, состоящая из n дифференциальных уравнений первого порядка, определена полностью лишь в том случае, когда известны все коэффициенты уравнений и n начальных условий. Начальные условия образуют n-мерный вектор, который полностью определяет состояние системы в начальный момент времени t₀. Предполагается, что все входные и возмущающие воздействия известны на всем интервале функционирования системы или объекта с момента времени t_0.

Рассмотрим общий случай, когда нелинейная стационарная система описывается уравнениями:

(14)

где x и f принадлежат n-мерному пространству, u принадлежит m-мерному пространству, y и g принадлежит p-мерному пространству.

Здесь первое уравнение «вход-состояние» записано в форме Коши: в левой части стоит производная вектора состояния x, а в правой части – дифференцируемая вектор-функция f от вектора состояния x и вектора входного

воздействия u. Второе уравнение – это уравнение «вход-состояние-выход», в левой части которого находится выходной сигнал модели объекта y, а в правой части – дифференцируемая вектор-функция g от x и u.

Пусть x₀(t), u₀(t) есть рабочая (номинальная) точка нелинейной системы n-го порядка, относительно которой проводится линеаризация. Следует отметить важное обстоятельство, что рабочая точка x₀(t), u₀(t) нестационарна, так как она зависит от времени t и описывает некоторую траекторию в координатах [x(t), u(t)] , где время t является параметром. В данном случае траектория задается параметрически. При этом линеаризация проводится в каждый момент времени t, а необязательно в точках равновесия управляемой системы, в которых производная вектора состояния равна нулю: x(t) = 0.

Предположим, что в результате некоторого возмущения входное воздействие u(t) , состояние x(t) и выходной сигнал y(t) получают отклонения δu(t), δx(t), δy(t) от номинальных значений u₀(t), x₀(t), y₀(t) в какой-то момент времени t, тогда

(15)

Вводим обозначения, связанные с дифференцированием состояния номинального режима и отклонением относительно него:

(16)

Пользуясь понятием производной Фреше, которая в данном случае будет представлять собой матрицы Якоби , выделим линейную часть из уравнения состояния (15):

(17)

Принимая во внимание исходное уравнение (14), имеем дифференциальное соотношение в рабочей точке (номинальном режиме), где проводится линеаризация,

.

Это соотношение позволяет выполнить сокращение в обеих частях уравнения (24) и записать линейную часть данного уравнения в отклонениях:

(18)

Здесь матрицы Якоби А, В зависят от текущих координат рабочей точки , в которой проводится линеаризация:

. (19)

В покомпонентной записи матрицы Якоби имеют вид:

Число строк этих матриц равно числу функций в системе, а число столбцов – числу компонент векторных аргументов x и u.

Аналогично можно с помощью дифференциала Фреше выделить линейную часть во втором уравнении (14), которое связывает вектор выходных сигналов y с векторами состояний x и входных воздействий u, и записать это уравнение в виде:

(20)

Это приводит к линеаризованному уравнению «вход-состояние-выход»

, (21)

где С и D – матрицы Якоби:

(22)

В итоге можно сказать, что если нелинейные функции в правых частях уравнений (14) модели объекта дифференцируемы в окрестности точки (x₀, u₀) , то с помощью матриц Якоби в дифференциалах Фреше проводится линеаризация дифференциальных уравнений. Последние служат линейной аппроксимацией исходных нелинейных уравнений в окрестности рабочей точки (x₀, u₀).

Тогда линеаризованные уравнения состояния записываются как:

(23)

где x – вектор состояния, u – вход системы, y – выход системы.

Структура, соответствующая данным уравнениям показана на рисунке 27.

Рис. 27 Структурная схема непрерывной линейной системы, описанной в виде переменных состояния

Далее проведем более подробный анализ нелинейных функций в правых частях уравнений (30) и рассмотрим два основных метода линеаризации.

• Первый метод линеаризации

Предположим, что система управления описывается нелинейным дифференциальным уравнением в многомерном пространстве состояний

. (24)

с измеряемым (контролируемым) выходом

(25)

где – -мерные векторы; – -мерный вектор; – -мерные векторы.

(26)

Здесь предполагается, что нелинейные функции и являются аналитическими в рабочей области, т.е. данные функции можно разложить в ряд Тейлора.

Линеаризуем уравнение (24) при условии малости приращений относительно положения равновесия (отсутствия искажений)

(27)

где – вектор состояния положения равновесия при фиксированном управлении и малых на интервале . При этом можно записать линейное уравнение в отклонениях

, (28)

где частные производные записываются в виде матриц Якоби

(29)