3. Аналіз варіації результуючого показника

Загальна варіація (змінюваність) обумовлена як зміною величини , так і зміною випадкових залишків . Знайдемо вибіркову(спостережувану) варіацію результуючої змінної :

, (1)

де – вибіркова середня, , –

-вимірний вектор.

Позначимо через – значення оціненої (емпіричної) функції регресії :

Тоді:

(2)

Покажемо, що останній доданок в (2) дорівнює нулю. Для цього спочатку покажемо, що

(3)

Обчислимо:

Тепер покажемо, що: (4)

Тоді (2) може бути записане у вигляді:

(5)

Поділимо (5) на варіацію :

(6)

або

, (7)

де - вибірковий коефіцієнт кореляції.

Властивості:

1. Формула (7) є вибірковим аналогом коефіцієнта детермінації і одночасно квадратом множинного коефіцієнта кореляції між і .

2. Формула (7) характеризує загальні варіації результуючої характеристики , яка пояснюється поведінкою (варіацією) вибіркової функції регресії .

У матричні формі (2) може бути подано у вигляді :

(8)

4.Оцінка якості статистичної моделі.

5. Статистичні властивості оцінок параметрів клммр. Обґрунтованість оцінок і .

Оцінка параметра називається обґрунтованою, якщо

(або ).

Має місце наступна теорема (с. 641)

Оцінки і є обґрунтованими тоді і тільки тоді, коли найменше число матриці прямує до при .

Незміщеність оцінок.

Оцінювач істинного параметра називається незміщеним (unbiased), якщо . Якщо ця умова виконується для , то вектор є незміщеною оцінкою . В противному випадку оцінювач називається зміщеним. Для знаходження середнього значення обчислимо:

. (1)

Візьмемо математичне сподівання від обидвох частин (1) і враховуючи те, що величини і невипадкові, знаходимо:

. (2)

Таким чином оцінка для в рамках КЛММР є незміщеною.

Покажемо, що оцінка для параметра є зміщеною. Для цього знайдемо

.

З цією метою виразимо вектор нев’язок через випадкові компоненти моделі :

де .

Матриця є симетричною і ідемпотентною ( для ідемпотентної матриці власні числа рівні або ; повинна бути квадратною).

Обчислимо величину варіації:

(

Тоді

Скористаємось замість оцінкою

(4)

яка є незміщеною.

Оптимальність МНК – оцінок

Оцінка є кращою (ефективнішою), ніж , якщо . Відповідно оцінка є оптимальною в класі оцінок , якщо

(7)

Маємо вектор оцінок .

Покладаючи , отримуємо оптимальність з точки зору оцінки невідомої функції регресії при любих значеннях пояснюючих змінних.

Властивості оцінок, які справедливі тільки при додатковій умові нормальності регресійних залишків.

В цьому випадку нормальна КЛММР має вигляд:

(9)

означає -вимірний нормальний закон розподілу імовірностей з вектором середніх , і коваріаційною матрицею . Припущення про нормальність регресійних залишків дозволяє будувати інтервал довіри для істинних значень і .