Тема 6 Теория напряженного состояния Основные понятия. Две задачи т.Н.С. Теории прочности

Совокупность нормальных σ и касательных τ напряжений на множество площадок, проходящих через данную точку, называется напряженным состоянием.

Для исследования напряженного состояния в точке рассматривают напряжения на гранях элементарного прямоугольного параллелепипеда вырезанного в окрестности исследуемой точки, которые образуют тензор напряжений.

(6.1)

Площадки, на которых отсутствуют касательные напряжения, называются главными. Действующие на главных площадках нормальные напряжения  называются главными напряжениями. Главные напряжения обозначаются ₁,₂, ₃.

Основные виды напряженных состояний:

- одноосное (линейное) напряженное состояние

- двуосное (плоское) напряженное состояние

- обобщенное плоское напряженное состояние

- чистый сдвиг

- трехосное (объемное) напряженное состояние

Тежное сопротивление

В теории напряженного состояния решаются две основные задачи:

- Первая задача ТНС:

По известному напряженному состоянию в точке определить нормальное σ_α и касательное _α напряжения на любой наклонной площадке.

- Вторая задача ТНС:

По известному напряженному состоянию в точке найти положения главных площадок и значения главных напряжений

Напряжения на наклонных площадках

- одноосное напряженное состояние

(6.2)

- двуосное напряженное состояние

(6.3)

- обобщенное плоское напряженное состояние

(6.4)

- чистый сдвиг

(6.4)

- общий случай объемного напряженного состояния

(6.5)

где l ,m, n - направляющие косинусы нормали к наклонной площадке

Положение главных площадок при обобщенном плоском напряженном состоянии определяется по формуле:

(6.6)

Главные напряжения в этом случае находятся по формуле:

(6.7)

Максимальные касательные напряжения равны:

- при одноосном н.с. : _max = ½  (6.8)

- при плоском н.с. : _max = ½ (_max – _min) (6.9)

Прочность в опасной точке проверяется по одной из теорий прочности в зависимости от вида Н.С. и материала стержня

- (6.10)

- , где  - коэффициент Пуассона (6.11)

- , (6.12)

- , (6.13)

Связь между напряжениями и деформациями выражается в виде закона Гука:

- одноосное Н.С. : ,  = –   (6.15)

- двуосное Н.С. : (6.16)

- чистый сдвиг : , (6.17)

- обобщенное плоское Н.С. : (6.18)

- трехосное Н.С. : (6.19)

- общий случай объемного н.с. :

Тема 7 Сложное сопротивление

§ 7.1. Основные понятия

Сложным сопротивлением называют случаи нагружения стержня, когда в его поперечных сечениях под действием внешних сил возникают одновременно несколько внутренних силовых факторов. В зависимости от сочетания ВСФ в поперечных сечениях стержня различают следующие виды сложного сопротивления.

Таблица 7.1

№ п/п	ВСФ в поперечном сечении	Рисунок	Название вида нагружения
1.	Qx, Qy, Mx, My		Косой изгиб
2.	N, Mx, My		1.Внецентренное растяжение (сжатие) 2. Изгиб с растяжением
3.	T, Mx, My, Qy, Qx		Изгиб с кручением
4.	N, Mx, My, T	у	Общий случай действия сил на стержень

При расчетах на прочность и жесткость в случае сложного сопротивления некоторые задачи требуют построения эпюр ВСФ, которые можно использовать для определения типа нагружения и опасных сечений. Совместное действие ВСФ приводит к напряженному состоянию, которое можно получить суммированием напряженных состояний, вызванных каждым видом простого нагружения в отдельности. Определив нормальные и касательные напряжения в различных точках поперечного сечения, а также и главные напряжения, можно по той или иной теории прочности проверить прочность данного стержня.

Перемещения поперечных сечений стержня при сложном сопротивлении находят также на основании принципа независимости действия сил как геометрическую сумму перемещений вдоль трех взаимно перпендикулярных осей:

(12.1)

где f_x, f_y, f_z – линейные,

_x, _y, _z – угловые перемещения вдоль декартовых координатных осей.

Рассмотрим пример построения эпюр ВСФ в общем случае действия сил на стержень: