§ 1.6 Выражение всф через нормальное s и касательное t напряжения
Внутренние усилия на элементарной площадке dA выразятся через s и t:
sdA, txdA, tydA.
Рис. 1.7
Суммирование по площади А сечения даст:
(1.4)
§ 1.7 Деформации линейные и угловые
Изменение размеров и формы тела под действием внешних сил называется деформацией.
Изменение размеров тела определяет линейная деформация, изменение формы тела определяет угловая деформация.
Рис. 1.8
Рассмотрим элементарный параллелепипед со сторонами dx, dy, dz (рис. 1.8.).Деформацию в данном параллелепипеде можно определить тремя линейными, вдоль х, у, z, и тремя угловыми, относительно осей х, у, z, деформациями. Изменения длин сторон dx, dy, dz (рис. 1.8) после приложения нагрузки называется абсолютными линейными деформациями. Отношения изменения длин к начальной длине представляет относительную линейную деформациию:
Изменение первоначально прямого угла между сторонами параллелепипеда и после приложения нагрузки к телу, выраженное в радианах, представляет собой угловую деформацию: xy, yz, zx. Угловые деформации часто называют относительным сдвигом.
Совокупность линейных деформаций по разным направлениям и угловых деформаций по различным плоскостям, проходящим через рассматриваемую точку, представляет собой деформированное состояние в этой точке.
Тема 2 Центральное растяжение и сжатие Основные понятия и определения
При центральном растяжении и сжатии в поперечных сечениях стержня возникает единственный внутренний силовой фактор – продольная сила N. В произвольном сечении стержня продольная сила N численно равна алгебраической сумме проекций на продольную ось стержня всех внешних сил, действующих по одну сторону от проведенного сечения.
При растяжении продольную силу N будем считать положительной, при сжатии – отрицательной.
Для расчета на прочность и определения перемещений поперечных сечений стержня надо знать закон изменения продольных сил по его длине. Изменение продольной силы по длине стержня можно представить в виде эпюры.
Нормальные напряжения в поперечном сечении стержня
(1.1)
где N – продольная сила, н
А – площадь поперечного сечения, мм2
Знак зависит от знака N, т.е. при растяжении 0, при сжатии 0.
Абсолютным удлинением называют разность между длинами стержня после и до деформации:
= ' – (1.2)
где – абсолютное удлинение, мм;
' и – длины стержня после и до деформации, мм.
Удлинение, приходящееся на единицу длины стержня, называется относительной продольной деформацией:
(1.3)
Зависимость между продольной деформацией и нормальным напряжением выражается законом Гука:
= E (1.4)
где E – модуль упругости І рода или модуль Юнга, н/мм2.
Закон Гука для абсолютного удлинения выражается формулой
(1.5)
Величина EA называется жесткостью поперечного сечения при растяжении и сжатии.
Поперечная деформация ' стержня определяется зависимостью
' = – (1.6)
где – коэффициент Пуассона.
Условие прочности при растяжении и сжатии имеет вид
(1.7)
где adm – допускаемое напряжение, н/мм2.
Условие жесткости при растяжении и сжатии имеет вид:
adm (1.8)
где adm – допускаемое удлинение, мм.
На основании (1.7) и (1.8) можно решать задачи трех типов:
1) Проверочный расчет
По известным размерам и материалу стержня проверить прочность стержня, т.е. проверить, выдержит ли стержень заданную нагрузку.
2) Проектировочный расчет
По заданным нагрузкам и материалу стержня определить размеры поперечного сечения, обеспечивающего прочность стержня
3) Определение допустимой нагрузки.
По заданным размерам и материалу стержня определить максимальную нагрузку, выдерживаемую стержнем.
Конструкции, в элементах которых усилия не могут быть определены из уравнений статики, называются статически неопределимыми системами.
Разность между числом неизвестных величин, подлежащих определению, и числом уравнений равновесия называется степенью статической неопределимости.
Решение статически неопределимых задач приводят в 4 этапа.
1. Статическая сторона задачи (С.С.З.).
Составляются уравнения равновесия, которые содержат неизвестные усилия. Выявляется степень статической неопределимости s.
2. Геометрическая сторона задачи (Г.С.З.).
Рассматривается деформированное состояние данной конструкции и устанавливаются связи между деформациями элементов конструкции. Полученные зависимости называются уравнениями совместности деформаций. Число этих уравнений равно s. Отметим, что деформированное состояние системы должно соответствовать напряженному. От этого зависит правильность решения задачи.
3. Физическая сторона задачи (Ф.С.З.).
Деформации элементов конструкции выражаются через неизвестные усилия по закону Гука.
4. Синтез.
Физические уравнения подставляются в уравнения совместности деформаций и полученные зависимости решаются совместно с уравнениями статики.
Изменения температуры элементов статически неопределимой системы вызывает дополнительные усилия и напряжения, которые называются температурными. Абсолютное удлинение от изменения температуры вычисляют по формуле
,
где - коэффициент линейного расширения,
– длина стержня,
t0 – изменение температуры.
При учете температурного фактора уравнения статики составляют только для сил, а деформации элементов определяют алгебраическим суммированием деформаций от усилий и изменения температуры. Порядок расчета остается таким же.
При определении монтажных усилий расчет проводится также в четыре этапа, но при составлении уравнений совместности деформаций учитывают наличие заданной неточности.