Исходное распределение поставок и первоначальная система

потенциалов

Потребители Поставщики	В1= 150		В2= 230		В3= 160		В4= 60		Ui
А1= 170		3		5	110	6	60	2	0
А2= 250		6	230	4	20	7		5	- 1
А3= 180	150	5		4	30	6		5	0
Vj	5		3		6		2

Шаг З. Проверка первоначального плана на оптимальность

Проверка плана на оптимальность исходит из принципа, что при любом его изменении, т.е. при перестановке перевозок в свободные квадраты, условная цена в пунктах потребления не должна стать меньше, чем в принятом нами плане. Следовательно, для свободных квадратов должно быть выполнено условие

U_i + C_ij ≥ V_j . (2.5)

Осуществляем проверку:

для квадрата 1.1 U_i + C_ij = 0 + 3 = 3 < 5;

1.2 U_i + C_ij = 0 + 5 = 5 > 3;

1.3 U_i + C_ij = -1 + 6 = 5 = 5;

1.4 U_i + C_ij = -1 + 5 = 4 >2;

1.5 U_i + C_ij = 0 + 4 = 4 > 3;

1.6 U_i + C_ij = 0 + 5 = 5 > 2.

Проверка показывает, что условие оптимальности не выполняется лишь для квадрата 1.1, и если бы мы отправляли продукт от первого поставщика первому потребителю, то его стоимость в первом пункте потребления была бы ниже, чем в первоначальном плане.

Квадраты, в которых условие оптимальности (2.5) не выполняется, отмечаются знаками плюс.

Шаг 4. Оптимизация плана перевозок

Для оптимизации плана необходимо переместить перевозку в квадрат 1.1. Перемещение производится таким образом, чтобы по отношению к выбранному квадрату образовать связку. Для этого необходимо провести замкнутую ломаную линию, состоящую из горизонтальных и вертикальных линий (по принципу хода ладьи в шахматах), в которой одной из вершин полученного многоугольника является свободный квадрат, не отвечающий условию оптимальности, а остальные вершины должны находиться в занятых квадратах.

После образования связки свободному квадрату и связанным с ним занятым квадратам присваиваем поочередно знаки плюс и минус, начиная со свободного квадрата. Из квадратов со знаком минус перемещаем перевозки в квадраты со знаком плюс. Чтобы не получить отрицательных перевозок, перемещаем наименьшее количество перевозок, которое находится в квадратах связки со знаком минус.

В нашем примере связка образуется из свободного квадрата 1.1, в который необходимо переместить перевозку из занятых квадратов 1.3, 3.3, 3.1. Присваиваем квадрату 1.1 знак плюс, квадрату 1.3 – знак минус, квадрату 3.3 – знак плюс и квадрату 3.1 – знак минус. Полученная связка представлена на рис. 2.1. Наименьшая перевозка со знаком минус находится в квадрате 1.3. Она равна 110 единицам. Это количество и перемещаем. В результате в квадрате 1.1 перевозка будет равна 110 единицам, в квадрате 3.1 – 40 единицам, в квадрате 3.3 – 140 единицам, а квадрат 1.3 станет свободным (рис. 2.2).

1.1

1.3

1.1

1.3

110

110

+

-

110

110

3.1

3.3

3.1

3.3

30

150

40

140

+

-

110

Рис.2.1 Рис. 2.2

Необходимо иметь в виду, что если план не является оптимальным одновременно для нескольких квадратов, в первую очередь производится перемещение перевозок в тот квадрат, в котором условие оптимальности нарушено больше, чем во всех остальных, т.е. в котором разность V_j - (U_i +C_ij) максимальная.

Законченный цикл вычислений, приводящий к получению нового варианта прикрепления потребителей к поставщикам, называется итерацией.

Для нового плана вычисляем новые значения потенциалов и проверяем новый вариант на оптимальность, т. е. повторяем шаги 2 и 3.

Все расчеты нового плана прикрепления, потребителей к поставщикам приведены в табл. 2.5.

Из данных, приведенных в табл. 2.5, видно, что новый план прикрепления потребителей к поставщикам является оптимальным.

Таблица 2.5

Итоговое распределение поставок по методу потенциалов

Потребители Поставщики	В1= 150		В2= 230		В3= 160		В4= 60		Ui
А1= 170	110	3		5		6	60	2	0
А2= 250		6	230	4	20	7		5	- 3
А3= 180	40	5		4	140	6		5	- 2
Vj	3		1		4		2

Иногда в первоначальном плане или в процессе итераций количество занятых клеток может оказаться меньше, чем m + n – 1. Это, так назывемый, случай вырождения. Он грозит зацикливанием, т.е. бесконечным повторением итераций. Для предупреждения зацикливания базисный план или его итерации дополняются до необходимой величины m + n – 1 квадратами, в которых помещают перевозки, равные сколь угодно малой величине. В дальнейшем с этими перевозками, которые называют «нулевыми», выполняют те же действия, что и с обычными перевозками.

При размещении нулевых перевозок рекомендуется следующий порядок действий. Выбирается столбец, где находится перевозка, назначенная в последнюю очередь (т.е. осуществленная последним по счету поставщиком). Затем определяются незаполненные клетки, в которые можно ввести нулевую перевозку. Можно также выбрать строку, где находится перевозка, назначенная в последнюю очередь. Порядок действий аналогичен. Далее можно сравнить выбранные клетки столбца и строки на предмет величины транспортных тарифов и, исходя из принципа наименьшей стоимости, выбрать ту (или те), в которой величинатарифа минимальна.

В решаемых выше задачах сумма потребностей всех потребителя равнялась сумме ресурсов всех поставщиков, т. е. выполнялась условие

.

Такие транспортные задачи называются закрытыми. Если же нет равенства ресурсов и потребности, модель называется открытой. В такой модели ограничения выражаются неравенствами. При этом возможны два случая. В первом случае ресурсы превышают потребность, и задача состоит в том, чтобы определить, у кого из поставщиков и какое количество продукции следует оставить с точки зрения минимизации транспортных расходов. Во втором случае ресурсы меньше потребности, и задача состоит в том, чтобы определить, кто из потребителей и какое количество продукции должен недополучить при минимизации транспортных расходов.

Для решения открытой транспортной задачи методом потенциалов в таблицу вводят «фиктивного» потребителя, если ресурсы превышают потребность, или «фиктивного» поставщика, если потребность превышает ресурсы. Транспортные расходы по перевозке единицы продукции от «фиктивного» поставщика или к «фиктивному» потребителю принимаются заведомо большими или равными нулю, чтобы не затруднять поиска оптимального плана прикрепления потребителей к поставщикам.