Решение:

При последовательном соединении К блоков интенсивность отказов образуемой ими подсистемы определяется по формуле (1):

Если интенсивность отказов не меняется в течение всего срока службы объекта, т.е. λ(t) = λ = const, то наработка до отказа распределена по экспоненциальному (показательному) закону (формулы 12, 13).

.

В этом случае используем формулу (11)

.

Если интенсивности отказов всех блоков одинаковы, то интенсивность отказов подсистемы

_П = К_Б = 50,310^-3 = 1,510^-3 ч^-1.

Для расчета значений Р_Б(t) и Р_П(t) применяем формулы (12) и (13).

Для построения зависимостей Р_Б(t) и Р_П(t) следует пользоваться калькулятором. Интервал наработки t примем равным 400 ч. Результаты представим в виде таблицы 3.

Таблица 3 - Результаты расчета зависимостей Р_Б(t) и Р_П(t)

t, ч	0	400	800	1200	1600	2000	2400	2800	3200
РБ(t)	1	0,886	0,785	0,698	0,618	0,549	0,486	0,432	0,383
РП(t)	1	0,549	0,301	0,165	0,090	0,050	0,027	0,015	0,008

График (рисунок 5) можно построить на миллиметровой бумаге или в пакете Microsoft Excel, при этом при вычислении Р_П(t) расчеты можно прекратить, достигнув значения вероятности 0,05.

Рисунок 5 - Зависимости вероятности безотказной работы одного блока Р_Б(t) и подсистемы Р_П(t) от наработки

Использованные соотношения (12) и (13) справедливы для экспоненциального распределения. Для любого распределения наработки до отказа вероятность безотказной работы подсистемы, состоящей из K последовательно соединенных блоков, связана с вероятностями безотказной работы этих блоков следующим соотношением (1):

.

Если блоки равнонадежны, как принято в задании, то

.

Рассчитав значение Р_П(t) по обеим формулам для t = 1600 ч получим одинаковый результат: Р_П(t) = 0,901.

Условия задания 2.1. Для наработки t, заданной в таблице 4 требуется рассчитать вероятность безотказной работы Р_С(t) системы (рисунок 6), состоящей из двух подсистем с одинаковой безотказностью, подчиняющейся нормальному закону распределения, одна из которых является резервной. Отказы каждой из двух подсистем независимы. Средняя наработка на отказ каждой системы автомобиля Т_ср и среднее квадратическое отклонение ресурса до отказа  приведены в таблице 5.

Таблица 4- Значения наработки t

Последняя цифра номера зачетной книжки	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
t	900	1000	1000	1300	700	600	1100	1500	400	1600

Таблица 5 - Средняя наработка на отказ каждой системы автомобиля Т_ср и среднее квадратическое отклонение ресурса до отказа 

Предпоследняя цифра номера зачетной книжки	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Тср ч	1000	900	1100	1200	600	800	1300	1400	500	1500
	250	200	300	300	150	200	350	400	150	400

Рисунок 6 – Схема системы с резервированием

Методические указания к заданию 2.1 и пример выполнения.

Для наработки t = 10000 ч требуется рассчитать вероятность безотказной работы Р_С(t) системы (рисунок 6), состоящей из двух подсистем с одинаковой безотказностью, подчиняющейся нормальному закону распределения, одна из которых является резервной. Отказы каждой из двух подсистем независимы. Средняя наработка на отказ каждой системы автомобиля 12 000 ч. Среднее квадратическое отклонение ресурса до отказа  = 4000 ч.

Решение:

Распределение функции надежности при нормальном законе распределения вычисляется по формуле (18):

,

где Т_ср — математическое ожидание случайной величины (в нашем случае -средняя наработка на отказ);

— сред­нее квадратическое отклонение;

F(z) – функция, определяющая вероятность отказа.

Данная функция, представленная формулой (18), не имеет аналитиче­ского выражения, поэтому для ее построения пользуются табличными значениями функции F(z) (они приведены в приложении), где z = (t – T_cp)/  — квантиль (условный аргумент, позволяющий определять значения вероятно­стей для любых совокупностей нормально распределенных слу­чайных величин).

В нашем случае величина квантили, соответствующей наработке t = 10000 ч

Вероятность отказа F(10000) при полученном значении квантили, найденная по таблице приложения 1 равна 0,11.

Для системы вероятность отказа при наработке 10000 ч, формула (19)

F_C(10000) = F_C(10000)F_C(10000) = F²_C(10000) = 0,11² = 0,0121.

Вероятность безотказной работы автомобиля (20):

P(10000) = 1- F(10000) = 1 - 0,0121 = 0,988 .

Задание 3. Постановить диагноз по комплексу диагностических параметров.

Выбор вариантов задания производится соответственно номеру зачетной книжки по таблице.

Краткие теоретические сведения

При изменении технического состояния автомобиля различные неисправности могут частично сопровождаться одинаковыми диагностическими параметрами. Описание диагнозов удобно свести в матрицу, обозначая наличие признака «1», а отсутствие – «0» (Таблица 6)

Таблица 6 – Диагностическая матрица

Диагнозы	Диагностические параметры
	S1	S2	S3	S4	S5
	1	1	1	1	0
	1	1	1	0	0
	1	0	1	0	1

На основании подобных матриц делались попытки создавать электрические приборы для автоматической постановки диагнозов, содержащие набор тумблеров (включателей) и сигнальных лампочек (по числу диагнозов). При соответствующем строке диагноза сочетании включенных и выключенных тумблеров в приборе зажигается лампочка данного диагноза. Однако, на практике такие приборы оказались неработоспособные.

Говоря об отсутствии или наличии некоторого диагностического признака, имеется в виду, что диагностический параметр меньше или больше допустимого значения диагностического параметра S_пд. Контролируемые диагностические параметры имеют случайный разброс из-за ошибок измерения, случайного сочетания режимов работы разных элементов автомобиля и т. п. Поэтому наличие или отсутствие диагностического признака при определенном диагнозе не является достоверным событием («1» или «0»), а наблюдается с некоторой условной вероятностью .

Наблюдая за большой группой автомобилей можно установить, как часто встречаются интересующие нас диагнозы - , и с какой вероятностью при этих диагнозах встречаются принятые для разрабатываемой системы диагностические параметры - . Для определения вероятностей наблюдения различных признаков, можно искусственно вносить в автомобиль интересующие неисправности (нарушать регулировки и т. п.).

Пусть результаты статистических исследований будут представлены таблицей 7.

Таблица 7 – Диагностическая матрица

Диагноз	Вероятности диагностических параметров					Вер. диагноза
	PD1(S1)	PD1(S2)	PD1(S3)	PD1(S4)	PD1(S5)	0,05
	PD2(S1)	PD2(S2)	PD2(S3)	PD2(S4)	PD2(S5)	0,10
	PD3(S1)	PD3(S2)	PD3(S3)	PD3(S4)	PD3(S5)	0,30
	PD4(S1)	PD4(S2)	PD4(S3)	PD4(S4)	PD4(S5)	0,55

Поставим диагноз для автомобиля с комплексом признаков: , и , остальные диагностические параметры не наблюдаются, т. е.

,

где - обозначение обобщенного диагностического параметра;

и - обозначение диагностических параметров, значения которых не выходят за предельно допустимые.

Расчет наиболее вероятного диагноза можно произвести по известной в теории вероятностей формуле Бейеса, рассмотрим ее типичный вывод.

Пусть в урне находится шаров, среди которых - пустотелые, из них - белые, и - сплошные, из них - белые (остальные пустотелые и сплошные шары черные).

Вероятность вынуть пустотелый шар (события )

.

Вероятность вынуть белый шар (события )

.

Вероятность, что вынутый пустотелый шар окажется белым,

.

Вероятность, что вынутый белый шар окажется пустотелым,

.

Вероятность, что шар будет белым и пустотелым (совместное наблюдение двух событий определяется произведением вероятностей)

.

Вероятность, что шар будет пустотелым и белым

.

Поскольку , можно записать

, отсюда формула Бейеса

.

Применительно к диагностике формулу Бейеса можно записать

,

где - вероятность - го диагноза при наблюдении -го параметра;

- вероятность - го диагноза;

- вероятность наблюдения - го параметра при диагнозе ;

- вероятность наблюдения - го параметра по всем диагнозам.

При постановке диагноза по комплексу признаков, формула будет записываться аналогично, но вместо единичного параметра будет рассматриваться комплекс параметров .

Вероятность совместного наблюдения независимых признаков, составляющих анализируемый комплекс диагностических параметров, можно выразить произведением вероятностей наблюдения каждого параметра при рассматриваемом диагнозе . Если в комплексе некоторые признаки отсутствуют, то в произведение ставят вероятность отсутствия диагностического параметра .

Вероятность наблюдения комплекса признаков по всем диагнозам определяют по формуле полной вероятности (как математическое ожидание)

.

Условия задания 3. Рассчитать вероятности диагнозов для заданного комплекса диагностических параметров , принятого по таблице 8 используя диагностическую матрицу (таблица 9).

Таблица 8 – Комплексные диагностические параметры

Последняя цифра зачетной книжки	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
S*					S1	S1	S1	S1	S1	S1
		S2	S2	S2				S2	S2	S2
	S3		S3	S3		S3	S3			S3
	S4	S4		S4	S4		S4		S4
	S5	S5	S5		S5	S5		S5

Таблица 9 – Диагностическая матрица

Диагноз	Вероятности диагностических параметров					Вер. диагноза
	1,0	0,8	0,9	1,0	0,1	0,05
	0,9	0,7	0,8	0,0	0,2	0,10
	0,6	0,1	0,9	0,1	0,8	0,30
	0,1	0,1	0,0	0,1	0,0	0,55