§ 102. Некоторые сведения по методам обработки эвольвентных профилей зубьев

1°. В данном параграфе мы рассмотрим в самых общих чертах методы нарезания зубчатых колес, так как этот вопрос тесно связан с теорией профилирования зубьев.

Зубчатые колеса с эвольвентным профилем зубьев обычно нарезаются на специальных зуборезных станках двумя методами: 1) методом копирования и 2) методом обкатки.

Метод копирования состоит в том, что по чертежам тщательно построенных профилей зубьев изготавливается дисковая фреза (рис. 22.18). Режущая кромка фрезы имеет очертание впадины между зубьями. Вращаясь, фреза перемещается в направлении боковой образующей зуба. За каждый ход фрезы вдоль оси ко-

…

§ 109. Зубчатые передачи с неподвижными осями 493

Из рис. 23.17 определяем силу :

. (23.46)

Движущий момент М₂ на валу червячного колеса равен

. (23.47)

Радиальная сила равна силе , но действует в противо­положном направлении.

Наконец, силу F₂₁ можно определить так:

, (23.48)

где угол ₂ определяется аналогично углу ₁ (см. равенство (23.44)); имеем

. (23.49)

Глава 24 синтез многозвенных зубчатых механизмов

§ 109. Проектирование зубчатых передач с неподвижными осями

1°. Многозвенные зубчатые механизмы могут быть весьма раз­нообразны по своей кинематической схеме и структуре.

Как было показано в § 32, многозвенный зубчатый механизм можно рассматривать состоящим из нескольких простейших зубчатых механизмов, и общее передаточное отношение u_1n для механизма, состоящего из n звеньев, согласно формулам (7.35) и (7.36), равно

, (24.1)

или

, (24.1)

где m - число внешних зацеплений в зубчатом механизме.

Проектирование кинематической схемы многозвенного зубча­того механизма заключается в подборе по заданному общему передаточному отношению основных размеров колес и числа их зубьев. При этом необходимо учитывать и некоторые дополнительные условия, связанные с конструктивными требованиями. Рассмотрим эти условия на примере двухступенчатых зубчатых механизмов редукторов, показанных на рис. 24.1. На рис. 24.1, а показан механизм, у которого на расположение осей колес не наложено никаких условий. На рис. 24.1, б и в оси колес 1 и 3 являются соосными, и, следовательно, должно удовлетворяться условие соосности, которое может быть выражено через очевидные соотношения. Для механизма, изображенного на рис. 24.1, б,

, (24.3)

а для механизма на рис. 24.1, в

, (24.4)

где и r₃ - радиусы колес 1, 2, 2' и 3. Равенства (24.3) и (24.4) называются условиями соосности.

a б в

Рис. 24.1. Схемы двухступенчатых зубчатых редукторов: а) несоосный с двумя внешними зацеплениями; б) соосный с двумя внешними зацеплениями; в) соосный о одним внешним и одним внутренним зацеплениями

Передаточное отношение для каждой ступени цилиндрических колес рекомендуется принимать в пределах u  8 ... 10, а для конических колес u  5. Если во всех механизмах, показанных на рис. 24.1, считать входными колеса 1 и 2' и условиться, что r₁ < r₂ и < r₃ , то ступень 1, состоящая из колеса 1 и 2, будет быстроходной, а ступень, состоящая из колес 2' и 3, - тихо­ходной. Из расчета зубьев на прочность обычно получается, что модули зацепления ступеней должны быть различными. Обозна­чим их соответственно m_I , и m_II . Как правило, m_II оказывается больше m_I . Далее, для редукторов рекомендуется радиусы r₂ и r₃ выходных колес каждой передачи выбирать так, чтобы r₃  1,1 · r₂ . Число зубьев z₁ и малых колес / и 2', если они на­резаются без смещения режущего инструмента, рекомендуется выбирать так, чтобы отсутствовало подрезание. Желательно также, чтобы межосевые расстояния a_ωI и a_ωII (рис. 24.1) выражались целыми числами. Для быстроходных редукторов рекомен­дуется числа зубьев колес принимать достаточно большими.

2°. Рассмотрим вопрос о проектировании схемы редуктора, которая изображена на рис. 24.1, а. Для такого редуктора можно зафиксировать следующие условия:

. (24.5)

При проектировании приходится определять четыре неизве­стных радиуса колес: r₁ , r₂ , и r₃ . Для решения мы имеем два соотношения (24.5), из которых второе представляет собой не­равенство. Таким образом, задача имеет бесчисленное множество решений. Число неизвестных можно уменьшить до трех, если решать задачу в относительных единицах, например, считая предварительно радиус r₁ колеса 1 равным единице. В таком случае будем иметь

. (24.6)

При проектировании передаточное отношение u₁₃ должно быть задано. С самого начала возникает вопрос: как его распределить между двумя ступенями редуктора? Так как сила, приложенная к зубьям колес второй ступени, больше, чем сила, приложенная к колесам первой ступени, то передаточное отношение u₁₂ целесо­образно сделать больше передаточного отношения . Этим самым можно добиться того, что размеры колес второй ступени окажутся приблизительно равными размерам колес первой сту­пени. Можно поставить, например, дополнительное условие

. (24.7)

В этом случае, имея в виду равенство (24.5), получаем

откуда

. (24.8)

После этого можно определить относительные размеры ра­диусов колес. Для колеса 2 имеем

. (24.9)

Принимая во внимание неравенство (24.5), получаем

. (24.10)

и, наконец, для имеем

или

. (24.11)

Итак, мы получили необходимые соотношения между ради­усами колес, а это значительно облегчает дальнейшее проектиро­вание.

Пример 1. Дано: передаточное отношение u₁₃ = 16, модуль первой ступени m_I = 1 мм, модуль второй ступени m_II = 1,25 мм. Спроектировать схему редуктора.

Из первого соотношения (24.8) имеем

Для определения ₂ пользуемся формулой (24.9): . Из равенства (24.10) имеем .

Наконец, из формулы (24.11) получаем .

Теперь зададимся числом зубьев z₁ колеса 1 из условия, в соответствии с ко­торым подрезание должно отсутствовать, т. е. должно быть z₁  17 . Примем z₁ = 20. Тогда

r₁ = 0,5 · m₁ · z₁ = 0,5 · 1 · 20 = 10 мм .

Пользуясь равенствами (24.6), получаем

r₁ = ₂ · r₁ = 4,8 · 10 = 48 мм ,

r'₂ = _2' · r₁ = 1,58 · 10 = 15,8 мм ,

r₃ = ₃ · r₁ = 5,28 · 10 = 52,8 мм .

Зная величины модулей m_I = 1 мм и m_II = 1,25 мм, определим числа зубьев колес:

На колесах второй ступени числа зубьев получились дробные, вследствие чего в расчет надо внести поправки. Примем = 25 и z₃ = 84 . Из-за этого пе­редаточное отношение изменится:

Выше мы имели = 3,32 и u₁₃ = 16. В данном случае = 3,36 и u₁₃ = 4,8 · 3,36 = 16,14. Ошибка в процентах

что не имеет практического значения.

3°. Переходим к рассмотрению редуктора типа показанного на рис. 24.1, б. Для этого типа редуктора должно удовлетворяться условие соосности (24.3). Подставляя в равенство (24.3) значения r₂ = r₁ · u₁₂ и , получаем

откуда имеем

. (24.12)

Из формулы (24.12) следует, что если передаточные отношения u₁₂ и равны, т. е. , то удовлетворяется условие , а следовательно, и условие r₂ = r₃ . Условие соосности (24.3) может быть также выражено через числа зубьев колес и модули m_I и m_II первой и второй ступеней редуктора. Имеем

m_I · z₁ + m_I · z₂ = m_II · z_2' + m_II · z₃ . (24.13)

Из равенства (24.13) получаем

. (24.14)

так как модуль m_II рекомендуется выбирать большим модуля m_I . Если передаточные отношения удовлетворяют равенству

то числа зубьев z₁ , z₂ , и z₃ , определяются по известным форму­лам:

(24.15)

Межосевые расстояния a_ωI и a_ωII равны:

a_ωI = a_ωII = r₁ + r₂ = r_2' + r₃ . (24.16)

4°. Для редуктора типа показанного на рис. 24.1, в (с вну­тренним зацеплением) соответственно имеем условие соосности в форме равенства (24.4). Кроме того, имеем равенства

откуда

или

. (24.17)

Условие соосности (24.4), выраженное через числа зубьев колес и модули m_I и m_II первой и второй ступеней редуктора, имеет вид

m_I · z₁ + m_I · z₂ = m_II · z₃ - m_II · z_2' . (24.18)

откуда получаем

, (24.19)

так как модуль m_II рекомендуется выбирать больше модуля m_I . Если передаточные отношения u₁₂ и удовлетворяют условию

то числа зубьев z₁ , z₂ , и z₃ определяются по формулам (24.15). Межосевые расстояния a_ωI и a_ωII равны:

a_ωI = a_ωII = r₁ + r₂ = r₃ - r_2' . (24.20)

Пример 2. Определить радиус колес и число зубьев соосного редуктора с двумя ступенями, если заданы передаточное отношение u₁₃ = 20 и модули первой ступени m_I = l и второй m_II = 1,25 мм. Схема редуктора показана на рис. 24.1, б.

Для этого редуктора имеем следующие условия:

или, в соответствии с заданными условиями, имеем

Если вести расчет в относительных единицах - в числах зубьев колеса 1, то неизвестными будут z₂ , , z₃ и u₁₂ , . Если дополнительно принять

то

Задаемся теперь числом зубьев колеса 1, причем выберем такое число z₁ , при котором получатся числа , z₂ и z₃ , по крайней мере близкие к числам целым, потому что равенство межосевых расстояний первой и второй ступеней должно быть выдержано точно.

Так как = 0,8 · z₁ , то для z₁ надо взять число 25 или 30, ибо при меньших числах для z₁ получаются числа для , меньшие 17. Таким образом, мы наме­чаем решение задачи в двух вариантах:

1. = 0,8 · 25 = 20 ,

z₂ = 4,47 · 25 = 111,75  112 ,

z₃ = 3,58 · 25 = 89,6  89 .

Подставляя теперь округленные до целых чисел результаты в формулу для передаточного отношения u₁₃ , получаем

что для целей практики вполне допустимо.

2. Проверим, далее, второй вариант:

z₁ = 30 , = 24 , z₂ = 4,47 · 30 = 134,1 , z₃ = 3,58 · 30 = 107,4 .

После округления до целых чисел имеем

z₁ = 30 , = 24 , z₂ = 134 , z₃ = 107 .

Передаточное отношение выразится так:

что также вполне допустимо.

Теперь проверяем условие соосности.

Первый вариант:

m_I · (z₁ + z₂) = 1 · (25 + 12) = 137 ,

m_II · ( + z₃) = 1,25 · (20 + 89) = 136,25 .

Второй вариант:

m_I · (z₁ + z₂) = 1 · (30 + 134) = 164 ,

m_II · ( + z₃) = 1,25 · (24 + 107) = 163,75 .

Как и следовало ожидать, полного совпадения размеров межосевых расстояний не получилось, причем во втором варианте неточность оказалась меньшей, чем в первом. Остановимся на втором варианте.

Чтобы привести межосевое расстояние a_ωII второй ступени к числу 164, надо предусмотреть нарезание колеса 2' с положительным сдвигом. Для опреде­ления необходимого коэффициента сдвига воспользуемся формулой (32.83) в та­ком виде:

где a_ω0 - межосевое расстояние, полученное нами из расчета,  - угол зацеп­ления режущего инструмента, равный 20°, а _w - угол зацепления, получаемые при монтаже.

После подстановки известных нам величин имеем

Далее воспользуемся формулой (22.82) для определения сдвига х_2' , который необходим при нарезании зубьев колеса 2'. Эту формулу представим так:

Подставим в эту формулу числовые значения и произведем все несводимые вычисления:

Абсолютный сдвиг будет равен

m_II · х_2' = 1,25 · 0,141 = 0,176 мм.