§ 100. Дуга зацепления, угол перекрытия и коэффициент перекрытия

1°. Найдем теперь путь, пройденный любой точкой начальной окружности за время зацепления одной пары сопряженных про­филей зубьев. Пусть активная линия зацепления заключается между точками а и b (рис. 22.15).

Рис. 22.15. К определению дуги зацепле­ния, угла и коэффициента перекрытия

В момент начала зацепления профиль зуба колеса 1 зани­мает положение I . В момент конца зацепления тот же про­филь находится в положении I I . Угол _ поворота зубчатого колеса от положения входа зу­ба в зацепление до его выхода из зацепления называется углом перекрытия. Дуга dd' есть дуга, на которую перекатятся началь­ные окружности за время за­цепления одной пары сопряжен­ных профилей. Дуга dd' носит название дуги зацепления. Длина дуги зацепления может быть выражена через длину активной линии зацепления и угол зацепления. Для этого соединим точки d и d' с центром О₁ . Угол dО₁d' равен углу _1 . Отметим далее, начальные точки с и с' эвольвенты зуба. Эти точки лежат на основной окружности, и угол cО₁c' также равен углу _1 . Длина дуги dd'

 dd' = r_w1 · _1 . (22.29)

Длина дуги сс'

 cc' = r_b1 · _1 ,

откуда

. (22.30)

Подставляя выражение (22.30) в равенство (22.29), получаем

. (22.31)

Из свойств эвольвенты следует:

 cc' =  Ac' -  Ac = (Ab) - (Аа) = (ab).

Далее, из формулы (22.27) имеем

r_b1 = r_w1 · cos _w ,

где _w есть угол зацепления. Теперь равенство (22.31) можно на­писать так:

. (22.32)

Таким образом, длина дуги зацепления на начальной окруж­ности равна длине активной линии зацепления, деленной на ко­синус угла зацепления.

Аналогичным путем можно определить дугу по любой другой окружности. Если дугу зацепления измерять по основной окруж­ности, то мы получим длину, равную длине активной линии зацепления.

2°. Если дуга зацепления равна шагу p_w , то при перекаты­вании начальных окружностей на эту дугу только одна пара со­пряженных профилей зубьев находится одновременно в зацеп­лении. Если дуга зацепления будет меньше шага p_w , то в зацеп­лении произойдет перерыв, и передача будет работать с уда­ром. Если, наоборот, дуга зацепления будет больше шага p_w , то некоторое время в зацеплении будет находиться одна пара профилей, а остальное время - две пары, может быть, и более.

Так как при изготовлении зубьев возникают некоторые неточ­ности в очертании профилей, то не рекомендуется при проектиро­вании ограничиваться тем предельным случаем, когда дуга за­цепления равняется шагу p_w . Желательно, чтобы дуга зацепле­ния всегда была несколько больше шага p_w . Тогда передача будет работать плавно, без ударов. Таким образом, в правильно спро­ектированной передаче желательно, чтобы отношение дуги за­цепления к шагу p_w было больше единицы, т. е.

> 1 .

В современной практике для внешнего зубчатого зацепления принимают

.

Так как  dd'₁ = r_w · _ , a p_w = r_w ·  , то

.

Отношение угла перекрытия _ к угловому шагу  называется коэффициентом перекрытия и обозначается _ .

Принимая во внимание формулу (22.32), получаем

, (22.33)

Величина p_b , входящая в формулу (22.33), носит название основного шага. Таким образом, основной шаг зубьев связан с ша­гом по начальной окружности и угловым шагом условием

. (22.34)

Из формулы (22.34) следует, что основной шаг представляет собой дугу, измеренную по основной окружности и вмещающую один зуб и одну впадину.

3°. Коэффициент перекрытия _ может быть определен и аналитически. В самом деле, из рис. 22.15 имеем

(ab) = (аР) + (Рb) = (аВ) - (РВ) + (Ab) - (АР) . (22.35)

Но из треугольников О₁АР , О₁Аb , О₂BР и О₂Ba

(22.36)

где _a1 и _a1 - углы профиля зуба у вершин, определяемые из соотношений

Подставляя в (22.35) значения отрезков из (22.36), получаем

. (22.37)

Принимая во внимание формулу (22.34) после подстановки вы­ражения (22.37) в уравнение (22.33), получаем

. (22.38)