§ 97. Геометрические элементы зубчатых колес 427

линии зацепления С₃ - С₃ . Для этого воспользуемся условием, что нормаль в точке соприкосновения сопряженных профилей проходит через мгновенный центр вращения Р в их относительном движении. Принимая во внимание, что центроиды Ц₁ и Ц₂ представляют собой окружности, нормаль, проведенная к сопряжен­ным профилям в точке их соприкосновения, должна проходить через одну и ту же точку Р . Отмечаем на заданной кривой K₁ несколько точек A₁ , B₁ , C₁ , ... В этих точках проводим к этой кривой нормали A₁a₁ , B₁b₁ , C₁c₁ , ... до пересечения в точках a₁ , b₁ , c₁ , ... с центроидой Ц₁ . При вращении звена 1 точка A₁ кри­вой K₁ описывает дугу окружности A₁₁ радиуса O₁A₁ и в тот момент, когда точка a₁ центроиды совпадает с точкой Р , точка A₁ будет находиться от точки Р на расстоянии РA₀ = A₁a₁ . Из точки Р проводим дугу радиусом A₁a₁ , до пересечения в точке A₀ с ду­гой A₁₁ .

Точка A₀ является той точкой линии зацепления, в которой происходит зацепление точки A₁ кривой K₁ с соответствующей точкой A₂ кривой K₂ . Точка B₀ линии зацепления определится, если на дуге B₁₁ из точки Р сделать засечку радиусом РB₀ , равным отрезку B₁b₁ нормали, проведенной к кривой K₁ в точке B₁ . Аналогично определятся и остальные точки C₀ , D₀ , E₀ , ... линии зацепления С₃ - С₃ . Соединив точки A₀ , B₀ , C₀ , ... плавной кривой, получим линию зацепления С₃ - С₃ .

Построение сопряженной кривой K₂ может быть проведено так, как это было сделано в примере на рис. 22.2.

Отметим (рис. 22.4), что при рассмотренном построении сопря­женных профилей K₁ и K₂ дуги Pa₁ , a₁b₁ , b₁c₁ , ... центроиды Ц₁ должны быть соответственно равны дугам Pa₂ , a₂b₂ , b₂c₂ , ... цен­троиды Ц₂ , но между собой эти дуги могут быть и не равны.

§ 97. Геометрические элементы зубчатых колес

1. Как было показано в § 96, для построения сопряженных профилей (профилирования) зубьев необходимо иметь заданными центроиды в относительном движении проектируемых колес. Тогда профили зубьев, являющиеся взаимоогибаемыми кривыми, могут быть построены точно или приближенно методами, изложен­ными выше, если будут заданы либо точки линии зацепления, либо очертание одного из сопряженных профилей. Какими же соображениями необходимо руководствоваться при выборе этих данных?

При выборе заданий для профилирования зубьев на практике приходится руководствоваться соображениями кинематического, динамического, технологического, и, наконец, эксплуатационного характера.

Соображения кинематического характера заключаются в ос­новном в требовании, чтобы профили сопряженных зубьев могли быть построены достаточно простыми геометрическими приемами и удовлетворяли заданной передаточной функции.

Соображения динамического характера заключаются во многих требованиях, из которых можно упомянуть следующие: необхо­димо стремиться к тому, чтобы при постоянной мощности, пере­даваемой зубчатым механизмом, давления на зубья и опоры механизма были постоянными по величине и направлению, далее, чтобы зубья имели форму, обеспечивающую наибольшую их проч­ность, и, наконец, износ зубьев должен быть минимальным.

Требования технологического характера в основном заклю­чаются в проектировании профилей, которые могли бы быть доста­точно просто изготовлены на современных станках.

Требования эксплуатационного характера заключаются в про­ектировании таких профилей, которые обеспечивали бы долговеч­ность работы механизма, безударность и бесшумность его работы и легкость монтажа механизма. Наконец, важным является требование, чтобы в случае износа одного или двух сопряженных колес их можно было легко заменить новыми. Это условие обычно носит название условия взаимозаменяемости зубчатых колес. При массовом выпуске машин взаимозаменяемость зубчатых колес достигается установлением определенных норм на размеры колес.

Поэтому, хотя теоретически можно построить зубчатый меха­низм с самыми различными профилями зубьев, практически выбор очертания профилей в значительной степени стеснен вышепоставленными требованиями. Вследствие этого в машиностроении обычно пользуются только несколькими видами кривых в ка­честве профилей зубьев. Из этих кривых мы остановимся на рас­смотрении так называемой эвольвенты круга, являющейся основ­ным типом кривых, по которым очерчиваются профили зубьев современных зубчатых механизмов, и на некоторых видах ци­клоидальных кривых.

2°. Прежде чем переходить к теории профилирования эвольвентных профилей, условимся об основных терминах, определе­ниях и обозначениях. Центроиды круглых зубчатых колес Ц₁ и Ц₂ (рис. 22.5) называются начальными окружностями.

Рис. 22.5. Схема внешнего зубчатого зацепления

Дуга начальной окружности, вмещающая один зуб (без впа­дины), носит название начальной толщины зуба и обозначается s_w (рис. 22.6). Дуга начальной окружности, вмещающая впа­дину (расстояние между двумя соседними зубьями), называ­ется начальной шириной впадины и обозначается начальной e_w . Дуга начальной окружности, состоящая из одной толщины зуба и одной начальной ширины впадины, называется шагом по начальной окружности и обозначается через p_w . Таким образом, шаг p_w равен

Рис. 22.6. Часть обода зубчатого колеса с внеш­ними зубьями

p_w = s_w + e_w .

При передаче непрерывного движения двумя сопряженными колесами шаг бывает одинаков для обоих сопряженных колес. Как было показано выше (см. § 31, 1°, формула (7.25)), переда­точная функция u₁₂ равна

где ω₁ и ω₂ - угловые скорости колес 1 и 2, r_w1 и r_w2 - радиусы начальных окружностей этих колес и z₁ и z₂ - числа их зубьев. Знак плюс соответствует внутреннему зацеплению, а знак ми­нус - внешнему зацеплению.

Длины начальных окружностей колес 1 и 2 равны

2·· r_w1 = z₁· p_w , и 2·· r_w2 = z₂· p_w . (22.8)

Из формул (22.8) следует, что шаг p_w по начальной окружности равен

Аналогично можно вычислить шаг по любой другой окружности.

Отсюда видно, что шаг зацепления всегда выражается через радиус или через диаметр окружности несоизмеримым числом, так как в правую часть входит трансцендентное число  . Это затрудняет подбор размеров зубчатых колес при проектировании колес и практическое их измерение. Поэтому для определения ос­новных размеров зубчатых колес в качестве основной единицы принят некоторый пара­метр, называемый модулем зацепления. Модуль зацепления измеряется в миллиметрах и обозначается бук­вой m . Величина модуля равна

m = p /  , (22.9)

где p - окружной шаг, т. е. расстояние, измеряемое по дуге окружности диаметра d между двумя соответствующими точками соседних зубьев.

Центральный угол  , опирающийся на дугу окружности зуб­чатого колеса, равную окружному шагу p , называется угловым шагом зубьев.

Для колес 1 и 2 угловые шаги зубьев соответственно равны

₁ = 2· / z₁ и ₂ = 2· / z₂ . (22.10)

Зубья колес нарезаются на специальных станках режущим инструментом, размеры и форма которого зависят от величины модуля. Чтобы не иметь на машиностроительных заводах, изго­товляющих зубчатые колеса, большие комплекты режущих ин­струментов, условились для некоторой окружности, называемой делительной, выбирать модули из ряда рациональных чисел. Общесоюзным стандартом (ГОСТ 9563-60) установлены два ряда модулей, до которых должны округляться модули, получаемые из расчета.

В первом, предпочтительном ряду предусмотрены следующие модули в мм: 0,05; 0,06; 0,08; 0,1; 0,12; 0,15; 0,2; 0,25; 0,3; 0,4; 0,5; 0,6; 0,8; 1,0; 1,25; 1,5; 2; 2,5; 3; 4; 5; 6; 8; 10; 12; 16; 20; 25; 32; 40; 50; 60; 80; 100.

Во втором раду предусмотрены модули, промежуточные между модулями первого ряда, например: 3,5; 4,5; 5,5; 7; 9; 11 и др.

Делительные окружности в зацеплении двух колес иногда совпадают с соответствующими начальными окружностями.

Профиль каждого зуба имеет часть ebcf , выступающую за начальную окружность и называемую начальной головкой зуба, и часть aefd , находящуюся внутри начальной окружности и назы­ваемую начальной ножкой зуба.

Так как размеры зубьев колеса одинаковы, то все головки зубьев внешнего зацепления ограничиваются снаружи окруж­ностями вершин радиусов r_a1 и r_a2 , а все ножки зубьев ограни­чиваются изнутри окружностями впадин радиусов r_f1 и r_f2 . В случае внутреннего зацепления зубья колеса с внутренним расположением зубьев ограничиваются снаружи окружностью впадин, и изнутри окружностью вершин. Расстояние между окружностью вершин и начальной окружностью, измеренное по радиусу, носит название высоты начальной головки зуба и обозна­чается через h_wa (рис. 22.6). Расстояние между окружностью впадин и начальной окружностью, измеренное по радиусу, носит название высоты начальной ножки зуба и обозначается через h_wf . Таким образом, полная высота h зуба равна h = h_wa + h_wf .

3°. Определим основные размеры зубчатых колес, у которых делительные окружности совпадают с начальными; такие колеса будем называть нулевыми. Эти. размеры могут быть всегда выражены в функциях модуля по делительной окружности и числа зубьев. Согласно формуле (22.8) диаметры d₁ и d₂ делительных окружностей могут быть представлены в следующем виде

(22.11)

где z₁ и z₂ - соответственно числа зубьев колес 1 и 2. Высота h_a головки зуба и высота h_f ножки зуба обычно принимаются равными h_a = m и h_f = 1,25· m . Больший размер ножки по сравнений с головкой обеспечивает зазор между головкой зуба и впадиной. Тогда диаметры d_a1 и d_a2 окружностей L₁ и L₂ вершин (рис. 22.5) зубьев будут равны

(22.12)

Диаметры d_f1 и d_f2 окружностей впадин T₁ и T₂ (рис. 22.5) соответственно будут равны

(22.13)

Кроме колес с указанной выше высотой зуба, применяются колеса с укороченными зубьями. Для колес с укороченной высотой зубьев эти диаметры принимаются равными

(22.14)

Расстояние a_w между центрами O₁ и O₂ колес (рис. 22.5) может также быть выражено через число зубьев и модуль зацепления

. (22.15)

В расчетах, связанных о проектированием зубчатых колес, часто пользуются относительными величинами. В частности, вы­сота h_a головки зуба часто выражается через модуль m , помножен­ный на некоторый коэффициент .

. (22.16)

Точно так же высота h_f ножки зуба может быть представлена формулой

. (22.17)

Величина обычно принимается равной = 1 для колес о неукороченной высотой зубьев и = 0,8 для колес с укоро­ченной высотой зубьев. Соответственно принимается равной = 1,25 и = 1,1; поэтому в общем виде формулы (22.12) - (22.14) имеют такой вид:

(22.14)