10.3. Евольвента кола та її властивості

Уявимо, що на коло намотала нитка, яка не розтягується. Позначимо на нитці точки 0, 1, 2, ... (рис. 10.3). Почнемо розмотувати нитку так, щоб кінець був натягнутий. Точки 0, 1, 2, ... при розмотуванні опишусь криві, які називаються евольвентами. Останні описуються також точками прямої NN , яка обкочується по колу без проковзування.

Рис. 10.3

Переважна більшість зубчастих передач мають евольвентні профілі зубців. Використання евольвенти при профілюванні зубців запропоновано Ейлером.

Точки 0, 1, 2, ... , які знаходяться на колі, є миттєвими центрами обертання нитки у відповідних положеннях. Тому відрізки 11', 22', ... перпендикулярні до евольвенти і дотичні до кола. Але точки 0, 1, 2, ... на. нитці вибрані довільно. Звідси випливає, що нормаль, проведена до будь - якої точки евольвенти є дотичною до кола. Відрізки 11', 22', ... є радіусами кривизни евольвенти. Точки 0, 1, 2, ... - центри кривизни. Розглядуване коло називається основним. Воно є геометричним місцем центрів кривизни евольвенти. Це геометричне місце називається еволютою.

10.4. Рівняння евольвенти

Положення точки М на евольвенті (рис. 10.4) визначається кутом  і радіус-вектором .

Рис. 78.4

За властивістю евольвенти довжини дуги M₀A основного кола та відрізка AM рівні, тобто

.

звідки .

Остання функція кута  називається евольвентною і позначається inv  (інволюта). Тоді рівняння евольвенти в параметричній формі матиме вигляд:

.

Тут  - кут профілю, який визначає положення точки на евольвенті;  - евольвентний кут або інволюта;  - довжина радіус-вектора . За передостанньою формулою по значенню inv  легко розраховується кут  , наприклад, у середовищі Mathcad.

10.5. Основні властивості евольвентного зачеплення

Побудуємо картину зовнішнього евольвентного зачеплення (рис. 10.5).

Рис. 10.79

Через центри коліс O₁ і O₂ проводимо лінію центрів. На ній показуємо полюс зачеплення Р . З нього проводимо перпендикуляр до лінії центрів. Через полюс Р під кутом зачеплення _w > 20° проводимо нормаль n - n до спряжених профілів зубців. З центрів O₁ і O₂ опускаємо перпендикуляри O₁N₁ і O₂N₂ на нормаль n - n . Радіусами r_b1 = O₁N₁ і r_b2 = O₂N₂ проводимо основні кола, які дотичні до n - n . Щоб одержати спряжені евольвенти, які дотикаються в полюсі Р , треба обкатати пряму n - n послідовно по обом основним колам без проковзування. Тоді точка Р прямої n - n опише дві евольвенти.

Нехай колеса повернуться на деякий кут. Можна довести, що тоді точка контакту евольвентних профілів переміститься з полюса Р в деяку точку K , яка лежить на нормалі n - n .

Нормаль до цих спряжених евольвент у точці К , згідно властивостей евольвенти, буде дотична до основних кіл. Тобто, при обертанні коліс загальна нормаль не змінює своє положення та весь час проходить через полюс зачеплення.

Тому передаточне відношення, яке за основною теоремою зачеплення

,

- величина стала.

Тобто, евольвентне зачеплення забезпечує сталість передаточного відношення. Це головна властивість евольвентного зачеплення.

Відрізок N₁N₂ називається теоретичною лінією зачеплення.

Точки спряжених профілів коліс, які співпадають з полюсом Р , у процесі обертання опишуть початкові кола радіусами r_w1 і r_w2 .

З трикутників O₁N₁P і O₂N₂P радіуси основних кіл

r_b1 = r_w1 ·cos _w , r_b2 = r_w2 ·cos _w .

Збільшимо міжосьову відстань коліс, залишаючи незмінними радіуси основних кіл. Тоді збільшиться кут зачеплення _w . Але з подібності трикутників O₁N₁P і O₂N₂P передаточне відношення

залишається сталим.

Тобто, при відхиленнях міжосьової відстані евольвентне зачеплення забезпечує сталість передаточного відношення, що має велике практичне значення. Це друга властивість евольвентного зачеплення.

При складанні передачі можливе збільшення міжосьової відстані та зазорів між зубами. Але в цьому випадку передача працює нормально при односторонньому навантаженні.

Розглянуті властивості притаманні також внутрішньому евольвентному зачепленню (рис. 10.6).

Рис. 10.81