Питання та завдання для самоконтролю

1. Чим відрізняються планетарні та диференціальні зубчасті механізми?

2. Як називаються колеса з нерухомими та рухомими осями планетарної передачі?

3. Вивести формулу Вілліса.

4. Вивести формулу для визначення передаточних відношень планетарних механізмів.

9.4 Розрахунки кутових швидкостей коліс та їх перевірка

Для перевірки правильності аналітичного визначення кутових швидкостей коліс та передаточних відношень використовується графічний метод Кутцбаха - Смірнова.

Метод розглянемо на прикладі механізму, кінематична схема якого побудована в масштабі довжин на рис. 9.7, а . Для побудови необхідні значення r_i , і = 1,2,..., 5, радіусів початкових кіл і-тих коліс, які вважаємо відомими. Задана кутова швидкість ω₁ колеса 1.

Побудуємо план (картину) швидкостей (рис. 9.7, б).

Швидкість точки А

v_A = ω₁ · r₁ .

Масштаб швидкостей

,

де A'a , мм , - відрізок на плані, який зображає швидкість точки А .

Відкладаємо горизонтально відрізок A'a від спільної для всіх відрізків вертикалі. Сполучаючи точку а з O' , одержуємо лінію розподілу швидкостей колеса 1.

а б

в

Рис. 9.7

Швидкість точки В дорівнює нулю, оскільки колесо З нерухоме, а колеса 2 і 3 перебувають у зачепленні. Точка В є миттєвим центром швидкостей сателіта 2. Сполучаючи точку а з B' , знаходимо лінію розподілу швидкостей сателіта 2. Від точки С , яка розташована на осі сателіта 2, проводимо горизонталь. На її перетині з лінією B'a маємо точку с .

Оскільки АС = СВ , то C'c = A'a / 2 як середня лінія трикутника A'B'a . Тому

.

Точку с сполучаємо з точкою O' . Лінію cO' продовжуємо до перетину з горизонталлю, проведеною від точки D . На їх перетині знаходиться точка d . Пряма cO'd - це лінія розподілу швидкостей жорстко з'єднаних водила H і колеса 4.

Швидкість точки D

,

Сполучаючи точку d з Е' одержуємо лінію розподілу швидкостей колеса 5.

Побудуємо план (картину) кутових швидкостей (рис. 9.7, в).

Масштаб кутових швидкостей

,

де 01 - відрізок на плані, який зображає кутову швидкість ω₁ .

Відкладаємо відрізок 01 паралельно векторам абсолютних швидкостей коліс, тобто для даного випадку горизонтально.

З точки 0 проводимо перпендикуляр до відрізка 01 , а з точки 1 - лінію, паралельну лінії O'a розподілу швидкостей колеса 1. На їх перетині знаходиться полюс плану р .

З полюса р проводимо промені, паралельні лініям розподілу швидкостей. Для сателіта 2 - промінь р2 паралельно аВ' для водила H і колеса 4 - промінь рН чи р4 паралельно cd , для колеса 5 - промінь р5 паралельно Ed .

Покажемо, що довжини відрізків 0i , i = 1, ...,5, та ОН на плані кутових швидкостей пропорційні останнім. Наприклад, кутова швидкість

,

де μ_l - масштаб довжин схеми механізму; - масштаб кутових швидкостей.

Те саме можна довести для інших кутових швидкостей.

Кутові швидкості:

ω₂ = - 02 · μ_ω , ω_H,4 = - 0H · μ_ω , ω₅ = - 05 · μ_ω .

Тут кутова швидкість приймається від'ємною, якщо відрізки 01 і 0i лежать по різні боки від точки 0 і додатною, якщо по один бік.

Відносна похибка визначення кутових швидкостей аналітичним і графічним методами не повинна перевищувати 1%.

Для цього ж механізму визначимо кутові швидкості коліс аналітично та покажемо, як проводиться перевірка розрахунків. Вважаємо заданими числа зубів z_i , i = 1, 2,..., n , коліс.

Визначаємо передаточне відношення всього механізму:

.

Кутова швидкість колеса 5

.

Знаходимо передаточне відношення планетарного механізму та зовнішньої передачі:

.

Виразимо ω_H та ω₄ через кутові швидкості коліс на різних кінцях кінематичного ланцюга:

.

Якщо значення кутових швидкостей, одержаних за обома останніми формулами співпадають, то це означає, що всі попередні розрахунки виконані правильно.

Визначимо кутову швидкість сателіта 2.

Для схеми на рис. 9.7 швидкості точок А і С

,

де знак "-" показує, що кутові швидкості спрямовані протилежно.

З кожної з двох останніх формул знайдемо ω₂ . Враховуючи, що при сталому модулі радіуси початкових кіл r_i пропорціональні числам зубів z_i , одержимо

,

Якщо значення ω₂ , одержані за обома останніми формулами співпадають, то це вказує на правильність розрахунків передаточного відношення u_1H та кутових швидкостей ω₂ і ω_H .

Порівнюючи графічний та аналітичний методи, бачимо, що останній є простішим та не потребує обчислень радіусів початкових кіл.

Для дворядної планетарної передачі з одним зовнішнім зачепленням побудуємо схематично план швидкостей (рис. 9.8) та знайдемо кутові швидкості сателітів.

Рис. 73.8

Для цього механізму швидкості точок А і С

,

звідки аналогічно попередньому випадку знаходимо

,

Якщо значення ω₂ = ω₃ то розрахунки виконані правильно.

Завдання для самоконтролю

1. Викласти суть методу Кутцбаха - Смірнова.

2. Побудувати схематично план лінійних швидкостей коліс планетарної передачі з подвійним сателітом та двома зовнішніми зачепленнями. Вивести формули для визначення кутових швидкостей сателітів.

Розділ 10. ТЕОРІЯ ЗУБЧАСТИХ ЗАЧЕПЛЕНЬ

10.1. Основні елементи зубчастого колеса

Розглянемо триланковий плоский зубчастий механізм з круглими циліндричними колесами. На рис. 10.1 позначені: 1,2 - індекси, які вказують номери коліс; a_W - міжосьова відстань; r_a , r_f - радіуси кіл відповідно вершин і западин зубів; r_W - радіус початкового кола. Початкові кола перекочуються одне по другому без ковзання.

10.2. Основна теорема теорії плоского зачеплення

Щоб передаточне відношення було сталим, необхідно профілі зубів виконувати по певним кривим згідно наступної теореми.

Рис. 10.1

Нехай спряжені профілі зубів коліс 1 і 2 обертаються відповідно навколо нерухомих центрів О₁ і О₂ (рис. 10.2). Профілі зубців дотикаються в точці К . З нею в даному положенні співпадає точка K₁ , яка належить тільки 1-му колесу, і точка K₂ , яка належить тільки 2-му. На рис. позначені: ω₁ , ω₂ - кутові швидкості коліс; r₁ , r₂ - миттєві радіуси обертання відповідно точок K₁ і K₂ навколо центрів О₁ і О₂ ; n - n - спільна нормаль до спряжених профілів.

Швидкості точок K₁ і K₂ :

.

Оскільки спряжені профілі перебувають у контакті, то проекції цих швидкостей на нормаль n - n рівні:

.

В іншому випадку виникало б роз'єднання або вдавлювання профілів.

Проектуючи вектори швидкостей і на нормаль n - n , одержимо

Рис. 10.2

.

Підставляючи , у попередню формулу, знаходимо

.

Підставляючи в останню рівність і з попередніх формул, маємо

.

З трикутника O₁N₁K добуток , а з трикутника O₂N₂K добуток . Тоді остання формула запишеться

.

Звідси передаточне відношення без урахування знака

.

З подібності трикутників O₁N₁P і O₂N₂P останнє відношення

.

Тоді .

Це математичний запис основної теореми теорії плоского зачеплення, яка формулюється так: спільна нормаль до спряжених профілів зубів поділяє міжосьову відстань на частини, обернено пропорціональні кутовим швидкостям коліс.

З останньої формули випливав, що

,

тобто в полюсі зачеплення Р швидкості точок профілів коліс рівні між собою.

Передаточне відношення u₁₂ буде сталим, якщо полюс Р буде нерухомим. Останнє виконується, якщо спільна нормаль до спряжених профілів здійснює коливальний рух навколо полюса Р, або залишається нерухомою. Цій вимозі відповідає евольвентне зачеплення.