9.2. Багатоланкові зубчасті механізми з нерухомими осями

Передаточне відношення, яке можна відтворити однією парою зубчастих коліс складає приблизно 1...6. Проте практика вимагає значно більших передаточних відношень. Для цього використовують багатоланкові зубчасті механізми. Вони складаються з більше ніж двох коліс, які утворюють між собою кілька вищих кінематичних пар IV класу.

Існують багатоланкові зубчасті механізми з нерухомими і рухомими осями.

Багатоланкові зубчасті механізми з нерухомими осями (рядне сполучення коліс) можуть бути одноступінчастими і багатоступінчастими.

В одноступінчастих зубчастих механізмах (послідовний ряд коліс) кожне колесо має власну вісь обертання (рис. 9.3, а).

а б

Рис. 9.3

При виведенні формул для загального передаточного відношення багатоланкових зубчастих механізмів, їх зручно виразити через окремі передаточні відношення. Наприклад, для одноступінчастого зубчастого механізму передаточне відношення від ведучої ланки 1 до веденої n

,

де u₁₂ , u₂₃ , u₃₄ ,… u_n-1,n - передаточні відношення між кожною парою зачеплених коліс. Виразимо їх через числа зубів коліс z_i , i = 1, 2,..., n, для циліндричних передач з зовнішніми і внутрішніми зачепленнями. Тоді ,

де m - кількість зовнішніх зачеплень.

Остаточно, передаточне відношення послідовного ряду n коліс

.

Як видно з останньої формули, передаточне відношення одноступінчастого зубчастого механізму залежить тільки від кількості зубів першого та останнього колеса. Проміжні колеса, які не впливають на передаточне відношення, називаються паразитними. Вони застосовуються для зміни напряму обертання чи збільшення міжосьової відстані між ведучою і веденою ланками.

У багатоступінчастих зубчастих механізмах з нерухомими осями (багатоступінчастий ряд коліс) навколо кожної нерухомої осі крім першої і останньої обертається два колеса (рис. 9.3, б). У цьому випадку передаточне підношення від першого колеса до n-ного

,

де ω₂ = ω₃ , ω₄ = ω₅ , ω₆ = ω₇ ,..., ω_n-2 = ω_n-1 .

Аналогічно показується, що передаточне відношення кількох послідовно з'єднаних зубчастих передач дорівнює добутку передаточних відношень кожної окремої передачі, яка входить до їх складу.

Підставимо в останню формулу u₁₂ , u₃₄ , u₅₆ ,... , u_n-1,n , виражені через числа зубів для циліндричних передач з зовнішніми і внутрішніми зачепленнями.

Одержимо передаточне відношення для багатоступінчастого зубчастого механізму

.

Питання та завдання для самоконтролю

1. Які зубчасті механізми називаються редукторами, а які — мультиплікаторами?

2. Як визначається передаточне відношення триланкових зубчастих механізмів?

3. Вивести формули для визначення передаточних відношень одноступінчастих та багатоступінчастих зубчастих механізмів.

9.3. Багатоланкові зубчасті механізми з рухомими осями

Багатоланкові зубчасті механізми, у яких осі деяких коліс рухомі, об'єднуються під загальною назвою епіциклічних. Вони дають можливість при малій кількості коліс здійснити дуже великі передаточні відношення - до 10000 і більше, що важко реалізувати в передачах з нерухомими осями.

Епіциклічні механізми поділяються на планетарні, у яких ступінь рухомості дорівнює одиниці, та диференціальні - з двома або кількома ступенями рухомості.

Багатоланкові зубчасті механізми з нерухомими осями обертання та епіциклічні за певних умов можуть взаємно перетворюватись. Для прикладу розглянемо одноступінчастий механізм (рис. 9.4, а). Його ступінь рухомості

W = 3·n - 2·р₁ – р₂ = 3·3 - 2·3 - 2 = 1 .

а б в

Рис. 9.4

Якщо з цьому механізмі вісь колеса 2 зробити рухомою, з'єднавши її за допомогою водила Н (від німецького Hebel -важіль) з центральною віссю обертання, то одержимо диференціальний механізм (рис. 9.4, б), для якого ступінь рухомості

W = 3·n - 2·р₁ – р₂ = 3·4 - 2·4 - 2 = 2 .

Якщо в останньому механізмі колесо 3 зробити нерухомим, то одержимо планетарний механізм (рис. 9.4, в), для якого

W = 3·n - 2·р₁ – р₂ = 3·3 - 2·3 - 2 = 1 .

У планетарних механізмах колеса з нерухомими осями називаються центральними або сонячними. На водилі, яке обертається, встановлені колеса з рухомими осями, які називаються сателітами. Наприклад, у механізмі, зображеному на рис. 9.4, в, колесо 2 є сателітом центральних коліс 1 і 3. Сателіти обертаються навколо своїх власних осей і разом з водилом обертаються навколо осей центральних коліс, імітуючи рух планет.

Виведемо формулу Вілліса для диференціалів, користуючись методом обернення руху. На рис. 9.5 показаний осьовий розріз диференціального механізму, зображеного на рис. 9.4, б. У ньому колеса 1, 3 і водило Н обертаються з кутовими швидкостями ω₁ , ω₃ і ω_H . Відносний рух ланок не зміниться, якщо всьому механізму надати додаткове обертання навколо осі О з кутовою швидкістю - ω_H , рівній по величині, але

протилежній по знаку кутовій швидкості ω_H . Тоді водило Н стане нерухомим і диференціал перетвориться на звичайний зубчастий механізм з нерухомими осями. Його передаточне відношення

,

де індекс Н над величинами показує, що вони визначаються при нерухомому водилі.

Рис. 9.5

Узагальнюючи останню формулу на диференціал з будь-яким числом коліс до n , одержимо формулу Вілліса для диференціальних механізмів

.

Якщо в диференціальному механізмі центральне колесо n зробити нерухомим, то він перетворюється на планетарний. Покладаючи для цього випадку в останній формулі ω_n = 0, маємо

.

Звідси передаточне відношення для планетарних механізмів

.

Визначимо передаточні відношення u_1H для деяких планетарних передач.

Для однорядної передачі (рис. 9.4, в) за загальною формулою для планетарних механізмів

.

Для послідовного ряду коліс, в якому кількість зовнішніх зачеплень m = 1 , знаходимо передаточне відношення

.

Підставляючи його в попередню формулу, одержимо

.

Розглянемо дворядну планетарну передачу з подвійними сателітами та двома зовнішніми зачепленнями (рис. 9.6, а).

а б

Рис. 9.6

З загальної формули для планетарних передач

.

Для ступінчастого ряду коліс, в якому кількість зовнішніх зачеплень m = 2 ,

.

Підставляючи в попередню формулу, маємо

.

Аналогічно для дворядної передачі на рис. 9.6, б з подвійними сателітами та одним зовнішнім зачепленням (m = 1) одержимо

.

Кутову швидкість сателіта 2 для планетарних передач, розглянутих на рис. 9.4, в, 9.6, а, б, можна визначити за формулою Вілліса чи користуючись методом обернення руху:

.

З останньої формули, знаючи ω₁ і ω_H , можна знайти ω₂ . Більш прості формули для визначення кутових швидкостей сателітів виведені в наступному параграфі.

Для планетарних передач з подвійними сателітами ω₂ = ω₃ .

Передаточне відношення від водила Н до першого колеса

.