6.3. Рівняння руху машинного агрегату

Машинний агрегат - це сукупність двигуна, передаточних механізмів і механізму робочої машини.

Рівняння руху машинного агрегату в формі кінетичної енергії або інтеграла енергії

А = А_р - А₀ = Т — T₀ ,

де А , А_р , А₀ - робота всіх сил, рушійних сил і сил опору; Т і T₀ - кінетична енергія агрегату відповідно в кінці і на початку руху.

Якщо всі сили і моменти сил, а також маси і моменти інерції ланок звести до ланки зведення, то рівняння набере вигляду

,

де А_зв , А_зр , А_зo - робота зведеного моменту всіх сил, рушійних сил і сил опору; J_зв , - зведений момент інерції агрегату в кінці і на початку руху; ω , ω₀ - кутова швидкість ланки зведення в кінці і на початку руху.

Робота зведеного моменту всіх сил

,

де М_зв , М_зp , М_зo - зведений момент усіх сил, рушійних сил та сил опору;  , ₀ - кут повороту кривошипа в кінці та на початку руху.

Підставляючи А_зв в попереднє рівняння, одержимо

.

Рівняння руху можна одержати також у диференціальній формі. Для цього продиференціюємо останнє рівняння по  . Маємо

.

Добуток

.

Вважаємо ω складною функцією часу, тобто ω ( (t)) . Тоді

,

де ε - кутове прискорення кривошипа.

Підставляючи цей добуток у останнє рівняння, знаходимо

.

Питання та завдання для самоконтролю

1. На основі яких рівностей проводиться зведення сил та мас?

2. Чи залежать зведені моменти сил та інерції від положення механізму та від кутової швидкості кривошипа?

3. Написати рівняння руху машинного агрегату в формі кінетичної енергії.

4. Вивести рівняння руху в диференціальній формі.

6.4. Дослідження руху машинного агрегату за допомогою рівняння кінетичної енергії

При дослідженні руху машинного агрегату зведені моменти рушійних сил М_зр() і сил опору М_зo() залаються в більшості задач у вигляді графіків, як функції кута повороту  ланки зведення. Тому розв'язування рівнянь руху ведеться графочисельними методами.

Нехай графіки виконані в масштабі зведених моментів μ_M та в масштабі кута повороту μ_ ланки зведення.

Розрізняють три характерні режими руху машин: розбігу, усталеного руху і вибігу. Їм відповідають кути _р , _y , _в . Одному оберту ланки зведення відповідає кут ₀ (рис. 6.2).

Рис. 6.2

Робота зведеного моменту сил

.

Ця робота відповідає алгебраїчній сумі S заштрихованих площ S_i на діаграмі. Площі S_i беруться зі знаком "+", якщо М_зp > М_зo і "-" - у протилежному випадку.

Робота підраховується за формулою

.

Для показаного на рис. 6.2 кута повороту  робота

.

Аналогічно визначається робота для інших кутів повороту.

Оскільки в моменти пуску і зупинки кутова швидкість ланки зведення дорівнює нулю, то приріст кінетичної енергії T за весь час роботи агрегату дорівнює нулю. Звідси, сума робіт чи площ зі знаком "+" дорівнює їх сумі зі знаком "-".

Час зупинки агрегату можна скоротити, якщо в режимі вибігу прикласти гальмівний момент М_г (рис. 6.2).

6.5. Визначення кутової швидкості ланки зведення

Покажемо, як визначається кутова швидкість за час одного оберту ланки зведення або циклу при усталеному русі. У наступному циклі процес повторюється. Кутова швидкість від початку руху знаходиться аналогічно.

Розглянемо побудову графіків робіт і приросту кінетичної енергії спочатку для робочої машини. Нехай для неї заданий тільки зведений момент сил опору М_зo . У загальному випадку задається ще зведений момент рушійних сил М_зр .

По осі абсцис графіків відкладаємо кут повороту  кривошипа (рис. 6.3). Номер точки 0,1,2... на осі абсцис відповідає номеру положення механізму. Відкладаємо ординати М_зo () умовно вверх зі знаком "-". На рис. 6.3 без дужок показані величини та їх знаки, які відповідають робочій машині, а в дужках - двигуну.

Методом графічного інтегрування будуємо графік робіт сил опору А₀ . Методи графічного інтегрування і диференціювання є протилежними за послідовністю побудов.

На ділянках 01, 12, ... проводимо горнзонталі так, щоб площі криволінійних трикутників (заштриховані) між горизонталями та графіком М_зo були рівні. Знаходимо точки перетину горизонталей з віссю ординат, у даному випадку - точки а і б . Вибираємо полюсну відстань Н . З точки О₁ графіка робіт проводимо на ділянці 01 відрізок О₁1₁ паралельно Ра . З точки 1₁ проводимо на ділянці 12 відрізок 1₁2₁ паралельно Рb , і т.д. Одержуємо діаграму робіт сил опору А₀().

Масштаб діаграми робіт .

Рис. 6.3

На початку і в кінці циклу уставленого руху робота рушійних сил А_р дорівнює роботі сил опору А_o . Якщо момент рушійних сил не заданий, то вважаємо, що А_р змінюється по лінійному закону. Сполучаючи точки 0₁ і початку і кінця діаграми А_o , знаходимо графік А_р .

За методом графічного диференціювання з полюса Р проводимо лінію паралельно графіку А_р до перетину з віссю ординат. З точки перетину с проводимо горизонталь, яка є графіком зведеного моменту рушійних сил М_зр .

Приріст кінетичної енергії T = А_р - А₀ . Віднімаючи від ординат А_р ординати А₀ , одержимо діаграму М(). Її масштаб .

Перейдемо до побудови графіків для двигуна. Вважаємо, що заданий тільки М_зр . Щоб не наводити ще один аналогічний приклад графічного інтегрування, покладемо М_зр таким, як абсолютна величина М_зо попереднього випадку.

Величини моментів, робіт і кінетичних енергій та їх знаки у випадку, якщо розглядуваною машиною є двигун, показані в дужках.

Розглянемо побудову діаграми енергомаси.

З графіків приросту кінетичної енергії T() і зведеного моменту інерції J_зв () виключимо  (рис. 6.4).

Рис. 6.4

Для цього з кожної точки i₁ , i = 0,1,2..., проводимо вертикаль, а з точки і₂ - горизонталь. На їх перетині знаходимо точку i , яка відповідає номеру положення механізму. Сполучаючи точки i для різних положень плавною лінією,

одержуємо графік T(J_зв), який називається діаграмою Віттенбауера.

По ній можна визначити значення ω в будь-якому положенні механізму, знаючи ω = ω₀ при  = 0. Для цього від початку координат відкладаємо вниз у масштабі μ_T значення .

Одержана точка О_T визначає початок координат графіка T(J_зв) . У режимі усталеного руху крива описує замкнену траєкторію.

Якщо зробити всі ці побудови від початку руху, то зразу одержується графік T(J_зв), а не T(J_зв), як при розгляді тільки усталеного режиму.

Виберемо на діаграмі Віттенбауера довільну точку М і з'єднаємо її з початком координат О_T . Відрізок О_TМ утворює з віссю абсцис кут  .

Кінетична енергія агрегату , звідки

,

де Т_кр , J_зв.кр - відповідні відрізки на кресленні. Оскільки їх відношення , то

.

Для кожного кута  , який визначає положення механізму, можна по діаграмі знайти кут  , а тоді за останньою формулою ω . Тобто, одержимо залежність ω().

Максимальному куту _mах відповідає ω_mах , а мінімальному _min - ω_min . Чим менша різниця між _min і _mах , тим менші коливання кутової швидкості ланки зведення.

Щоб зменшити цю різницю треба початок координат О_Т діаграми перемістити вниз і вліво. Для цього збільшують J_зв(0), що досягається встановленням на ланці зведення додаткової маси. Вона виконується у вигляді маховика, тобто шківа, або суцільного, або з важким ободом.

Зі збільшенням J_зв(0) збільшується також

.