2.1.6. Кеплер заңдары

Кеплер Коперник ілімін жалғастырушы және дамытушы болды. Бастапқы кезде Кеплер планеталарды шеңбер бойымен қозғалады деп есептеп, кейінірек ол пайымдауларынан бас тартып, планеталар қозғалысының келесі 3 заңын ашты:

1. Барлық планеталар эллипстер бойымен қозғалады және оның бір фокусында Күн тұрады;

2. Планетелардың радиус-векторлары тең уақыт аралықтарында теңдей аудандар сызады;

3. Планеталардың Күнді айналуының сидерлік периодтарының квадраттары олардың эллипстік орбиталарының үлкен жарты осьтерінің кубтарына пропорционал (сурет 2.3).

Сурет 2.3. а) Эллипстік орбита; б) Кеплердің екінші заңын түсіндіру

Мұндағы, f₁, f₂ - фокустар, ол АП үлкен оське тең. АО қашықтығы үлкен жартылай ось деп аталады, О-эллипс центрі, Оf₁/OП=е - эллипс эксцентриситеті. Планеталар орбиталарының шеңберден айырмашылығы аз, сондықтан олардың эксцентриситеттері де аз шамаға тең.

2.1.7. Кеплердің 1-ші (жалпылама) заңы

Кеплер өз заңдарын эмпирикалық түрде, планеталардың көрінетін қозғалыстарын зерттеу нәтижесінде алды. Сондықтан жоғарғы келтірілген Кеплердің 1-ші заңы тек Күн жүйесінің үлкен планеталары мен Күнді айналып жүретін олардың денелері үшін дұрыс болады.

Егер аспан денелерінің қозғалысын жалпы түрде қарастырсақ, жоғарғы айтылған заңды келесі түрде тұжырымдау керек: тартылыс күші әсерінен бір дене екінші дененің тарту өрісінде қозғалады, бұл қозғалыс шеңбер, эллипс, парабола немесе гипербола түрінде болады. Бұл тұжырымдамада Кеплердің 1-ші заңы кометалар, үлкен планеталардың серіктері, қос жұлдыздар, т.б. аспан денелері үшін дұрыс болады.

2.1.8. Кеплердің 2-ші заңы

Тік бұрышты координаттар жүйесін қарастырайық. Координаттар басы тартылыс центрінде орналассын, ал ху жазықтығы дене орбитасының жазықтығымен сәйкес болсын. (сурет 2.4)

Сурет 2.4 Кеплердің екінші заңын қорытып шығаруға (М - орталық дене, тартылыс центрі, m – айналатын дене)

Күш пен үдеудің х және у координат осьтеріне құраушыларын тауып, қозғалыс теңдеуін келесі түрде жазайық:

(2.1.3)

Бұл теңдеулерді сәйкесінше у және х-ке көбейтіп және алғашқысан соңғысын шегерсек, мынадай өрнекке келеміз:

(2.1.4)

немесе

(2.1.5)

Күш орталық болғандықтан :

, яғни (2.1.6)

Олай болса,

(2.1.7) немесе

(2.1.8)

Полярлы координаттар арқылы өрнектесек:

, (2.1.9)

мұндағы r - нүктенің координата басынан қашықтығы (радиус-вектор), - поляр бұрышы. Егер тік бұрышты координаттардан поляр координаттарына көшсек, онда жоғарыдағы өрнек мына түрге келеді:

(2.1.10)

2.1.9. Кеплердің үшінші (түзетілген) заңы

Дөңгелектік қозғалыс кезінде үдеу , мұндағы бұрыштық жылдамдық , ал - айналу периоды болса, онда үдеу былайша анықталады:

(2.1.11)

Массасы m аспан денесінің массасы М орталық денені шеңбер бойымен айнала қозғалысын қарастырайық, олай болса жоғарыдағы өрнекке сәйкес салыстырмалы үдеу мынаған тең:

, (2.1.12)

және – екеуі бір шама, яғни үдеу болғандықтан, теңдеулердің оң жақтарын теңестіріп, келесі өрнекті аламыз:

(2.1.13)

Аспан дененсінің қозғалысын эллипс бойымен қарастырсақ, сонда (2.1.13) өрнекке ұқсас өрнекті аламыз, бірақ мұнда шеңбер радиусы r үлкен жарты ось а-ға алмастырылады, ал Т дененің эллипс бойымен айналу периодын білдіреді. Осы өрнекті массалары m_ және m₂ екі дене үшін жазайық, олардың эллипстік орбиталарының үлкен жарты осьтері а₁ және а₂, ал айналу периодтарын Т₁ және Т₂ деп белгілесек, сонда:

(2.1.14)

Бұл Кеплердің 3-ші заңының түзетілген түрі. Егер екі планетаның Күнді айнала қозғалысын қарастырсақ, яғни М₁=М₂ болса және планеталар массасы Күн массасымен салыстырғанда ескермейтіндей аз болса ( ), онда Кеплердің бақылаулар нәтижесінде алған өрнегіне келеміз:

(2.1.15)

(2.1.13) және (2.1.14) өнектерінің астрономиядағы маңызы өте зор, өйткені олар аспан денелерінің массаларын аңықтауға мүмкіндік береді.