2. Определение скорости ударной волны. Формулы Жуковского

При абсолютно жестких стенках трубопровода скорость распро - странения ударной волны Cv равна скорости распространения звука в воде (C_v = 1425 м/с).

Определим скорость распространения ударной волны с учетом деформации стенок трубопровода и упругих свойств жидкости из условия сохранения массы жидкости при гидравлическом ударе.

До удара между сечениями 1-1 и 2-2 масса жидкости

m = рш C_vdt . (11.4)

За время dt после закрытия задвижки в результате некоторого сжатия жидкости (т.е. увеличения ее плотности) и расширения трубы между сечениями 1-1 и 2-2 накопилась масса

m' = (р + dр)(ш + dш)С_vdt . (11.5)

Накопленная масса образуется в трубопроводе в конце первой фазы в объеме шАi (см. рис 11.1):

m = poiv dt . (11.6)

0 ^Н 0 ^V ’

Условие сохранения массы при гидравлическом ударе с учетом выражений (11.4)-(11.5) и (11.6) запишется в виде m_Q = m ’ - m :

рш v_Qdt = (p + dр)(ш + dш)C_vdt - рш С_vdt . (11.7)

Сокращая выражение (11.7) на dt и пренебрегая бесконечно малыми величинами второго порядка, получим

pa v = pC_yd а) + a C_vd р = C_v (pd a + a d p) . (11.8)

Выражение (11.8) является законом сохранения массы при гид - равлическом ударе, из которого находим скорость C_v в виде:

V

Cv = , \ . (11.9)

свойствами материала трубы и жидкости.

Представим выражение для относительной деформации площади трубы в виде

( п²Л п D

d

d а

V

У

^{2 dD} (11.10)

а п D ² D

4

4

dD

Из механики упругих тел известно, что относительная деформация

D

может быть выражена в зависимости от вызываемого ею растягивающего напряжения в материале трубы Да и модуля его упругости по закону Гука:

— = —. (11.11)

^{D E}p

Напряжение, вызванное ударной волной в стенках трубы, может быть определено по формуле

да = ^ДР^, (11.12)

2 5

где Др - давление в гидравлическом ударе;

5 - толщина стенки трубы;

D - диаметр трубы.

С учетом зависимостей (11.11) и (11.12) выражение (11.10) приводится к виду:

dа 2dD 2 Да 2ДpD ДpD

(11.13)

a D E 2 5 E 5 E

тр тр тр

Относительное изменение плотности жидкости ^dp зависит от повышения

р

давления Ар и модуля объемной упругости жидкости Е_ж:

d р А p

Р E

^Г ж

Подставим выражения (11.13) и (11.14) в формулу (11.9) и получим

v

0

(11.15)

^Cv =

^v А pD

А p

+

^Етр^{8 Е}ж

Рассмотрим физический смысл величин, находящихся под корнем в правой части формулы (11.15).

Если гидравлический удар, происходящий в трубе из абсолютно неупругого материала Е_тр = да, то

E

(11.16)

ж

C" =

р

E

_г, _ скорость распространения упругих деформаций (ударной волны) в г де с

^; жидкости, м/с.

E

Из физики известно, что выражение

является скоростью звука в

р

жидкой среде.

Для воды C_v = 1425 м/с.

В другом предельном случае при Е_ж = да можно считать, что гидравлический удар происходит в трубе, по которой движется абсолютно неупругая жидкость. Тогда:

8 E

1

тр

(11.17)

с" =

Р D

8 E

тр

Можно также считать, что с" является скоростью распространения

упругих деформаций (ударной волны) исключительно по телу трубы.

С учетом формул (11.16) и (11.17) преобразуем формулу (11.15) к виду:

1 с"

с.. = , _ = ^; (11.18)

с" 1 +

с "

;

с;)² С)² ч

или

E

D E

1 + ^ж-

5 E

тр

Р

(11.19)

C =

1

'E

Учитывая, что

= 1425 м/с для воды, получим, м/с:

p

(11.20)

C =

1425

D E

1 + ^ж-

5 E

тр

Подставим выражение (11.20) в формулу (11.3) и получим, Па: 1425 pv ,1+D^ 5 £тр Д p = 0 Вид труб	E ж E тр
Стальные	0,01
Чугунные	0,02
Асбестоцементные	0,11
Полиэтиленовые	1... 1,45
Бетонные	0,10.0,14
Резиновые	333...1000

тр

принимается по табл. 11.1. Таблица 11.1

Для железобетонных труб с учетом их армирования

E... 0,1... 0,14

для воды в зависимости от материала стенки трубы

(11.22)

E

E

^гд^е/^- площадь сечения кольцевой арматуры на 1 м длины стенки трубы.

Обычно — = 0,015 ... 0,05 .

5

(11.21)

Отношение

ж

E f

^E тр 1 + 9,5 —

5