Определение коэффициента упругости пружины динамическим методом

Этот метод основан на законах колебательного движения груза массой m около положения равновесия. Основной признак колебательного движения – периодичность. Следовательно, смещение x груза из положения равновесия можно записать в виде периодической функции времени:

x = Acos(t +  0),

(2.1)

где A – амплитуда;  = 2/T – циклическая частота, обратно пропорциональная периоду T колебаний; ₀ – начальная фаза колебаний.

При смещении x величина силы упругости будет определяться полным удлинением пружины, равным сумме l и x (см. рис. 2.1):

Fyпр = k(l + x).

(2.2)

Здесь l – удлинение пружины под действием покоящегося груза:

.

(2.3)

Записав второй закон Ньютона в проекциях на ось x) и учтя выражения (2) и (3), нетрудно получить дифференциальное уравнение свободных колебаний подвешенного на пружине тела:

,

(2.4)

где a_x – проекция ускорения груза на ось х.

После подстановки значений и x в уравнение (4) получим

m2 = k.

(2.5)

Зная циклическую частоту колебаний  и колеблющуюся массу m, можно определить значение коэффициента упругости . Так как непосредственно измеряется время, то лучше связать коэффициент упругости не с частотой, а с периодом колебаний. Нетрудно показать, что квадрат периода колебаний груза на пружине прямо пропорционален его массе и обратно пропорционален коэффициенту упругости пружины:

.

(2.6)

Из последнего равенства видно, что период определяется только свойствами системы (m и k) и не зависит от амплитуды колебаний.

Уравнение (6) позволяет графически обработать результаты измерений периода: откладывая по осям соответствующие переменные, можно свести равенство (6) к виду y = c + bx и получить при построении графика прямую, по угловому коэффициенту которой можно найти коэффициент упругости k.

Выполнение измерений

Таблица 2.1

№ п.п.	m	N	t	T	T 	T 2
1	1,120	5 10 15	3,04 5,43 7,90	0,60 0,54 0,53	0,56	0,31
2	0,995	5 10 15	2,80 5,15 7,32	0,56 0,52 0,49	0,52	0,27
3	0,846	5 10 15	2,70 4,50 6,95	0,54 0,45 0,46	0,48	0,23
4	0,691	5 10 15	2,68 4,29 6,44	0,54 0,43 0,43	0,46	0,21
5	0,474	5 10 15	2,12 3,82 5,42	0,42 0,38 0,36	0,39	0,15

1. Вычислим и занесем в табл. 2.1 периоды колебаний, среднее значение периода T  из трёх измерений для каждой массы, а затем – квадрат этого значения по формуле.

с; с; с; с с².

с; с; с; с с².

с; с; с; с с².

с; с; с; с с².

с; с; с; с с².

Построим график зависимости квадрата периода колебаний от массы груза, найдите по нему угловой коэффициент b и вычислите коэффициент упругости k_дин, используя формулу (5), где b = 4²/k .

;

;

Вывод: В данной лабораторной работе мы ознакомиться с динамическим методом определения коэффициента упругости пружины и практически определить его значение которое равен Так-же мы вычислили период колебания для разных груза из которого мы видим что период колебания зависит от массы груза, чем масса груза больше, тем больше период колебания.