Глава 1 приближенное решение уравнений.

§1. Отделение корней уравнения.

Корнем уравнения

f (x) = 0 (1)

называется такое значение х = х₀ при котором уравнение (1) превращается в тождество:

f (x₀ ) = 0

Корень уравнения геометрически представляет собой абсциссу точки пересечения, касания или другой общей точки графика функции у = f(x) и оси ОХ (рис.1.1).

Отделить корень уравнения – значит найти такой конечный промежуток, внутри которого имеется единственный корень данного уравнения.

Графический метод отделения корней.

Отделение корней уравнения (1) можно выполнить графически, построив график функции у = f(x), по которому можно судить о том, в каких промежутках находится точка пересечения его с осью ОХ. В некоторых случаях целесообразно представить уравнение f(x)=0 в виде:

f₁(x) = f₂(x) (2)

с таким расчетом, чтобы графики функций у = f₁(x) и у = f₂(x) строились по возможности проще. Корень уравнения (2) представляет собой абсциссу точки пересечения графиков у = f₁(x) и у = f₂(x).Таким способом можно найти, например, корни уравнения х³ + px + q = 0; это будут точки пересечения кубической параболы у = х³ и прямой у = - px – q.

Метод исследования отрезков.

Теорема 1. Если на отрезке [a ; b] функция у = f(x) непрерывна, сохраняет свой знак (является монотонной), а значения f(x) на концах этого отрезка имеют разные знаки, то на этом отрезке имеется один и только один корень уравнения.

Пример 1.1 Отделить корни уравнения х³ + х – 4 = 0.

Р ешение.

I способ (графический метод):

Рассмотрим уравнение х³ + х – 4 = 0. Придадим заданному уравнению вид х³ = - х + 4 и построим графики функций у = х³ и у = - х + 4. Эти графики пересекаются в точке, которая принадлежит интервалу (1; 2) (рис 1.2).

II способ (исследование отрезков):

В данном случае f(x)= х³ + х – 4, = 3х² + 1. Так как >0 при всех х, то функция f(x) возрастает на промежутке . Корень считается отделенным, если указан конечный промежуток на котором он находится. Методом проб находим отрезок [a ; b], для которого f ( a ) f( b ) < 0. Для этого вычислим значения функции при некоторых значениях аргумента: f ( 0 ) = -4<0, f ( 1 ) = -2 < 0, f ( 2 ) = 6 > 0. Поскольку f ( 0) f( 1 ) > 0, то на отрезке [0 ; 1] корней нет; так как f ( 1 ) f( 2 ) < 0, то корень уравнения находится на отрезке [1 ; 2].

§2. Правило пропорциональных частей (метод хорд).

М етод хорд приближенного решения уравнения (1) имеет следующую геометрическую иллюстрацию: вместо точки пересечения оси ОХ и графика функции у = f(x), входящей в это уравнение, рассматривается точка пересечения данной оси и отрезка прямой, соединяющей концы дуги графика. Пусть требуется вычислить действительный корень уравнения f(x) = 0, изолированный на отрезке [a ; b]. Рассмотрим график функции у = f(x). Пусть f ( a ) < 0, а f( b ) > 0.

Точки А (a; f (a)) и В (b; f(b ))соединим хордой. Найдем точку х_1:

(3)

Если f ( х₁ ) < 0 , то за новый, более узкий, интервал изоляции можно взять отрезок [х₁ ; b]. Соединив точки А₁(х₁; f (х₁)) и В (b; f(b )), получим в точке пересечения хорды с осью второе приближение х₂, которое вычислим по формуле:

(4)

и т. д. Последовательность чисел а, х₁, х₂ ....стремится к искомому корню х₀. Вычисления следует вести до тех пор, пока не перестанут изменяться те десятичные знаки, которые мы хотим сохранить в ответе (т.е. пока не будет достигнута заданная степень точности).

Пример 1.2:

Методом хорд найти положительный корень уравнения х⁴ - 2х – 4 = 0 с точностью до 0,01

Решение. Положительный корень будет находиться в промежутке (1; 1,7), т.к. f ( 1 ) = -5<0, а

f ( 1,7 ) = 0,952 > 0. Найдем первое приближенное значение корня по формуле (3):

, где а = 1, b=1,7

Получим =1,588

Так как f ( 1,588 ) = -0,817 < 0, то применяя вторично способ хорд к промежутку (1,588; 1,7) получим: = 1,639; f ( 1,639 ) = -0,051 < 0.

Найдем третье приближенное значение на промежутке (1,639; 1,7)

получим: = 1,642; f ( 1,642 ) = -0,016 < 0.

Найдем четвертое приближенное значение на отрезке (1,642; 1,7)

получим: = 1,643; f ( 1,643 ) =-0,004>0.

Следовательно, искомый корень с точностью до 0,01 равен 1,64