48)Нормальное распределение случайной величины.

Нормальный закон распределения (закон Гаусса) с параметрами а и , если ее плотность вероятности имеет вид: .

Нормальный закон распределения случайной величины с параметрами а=0, σ =1 называется стандартным или нормированным. Плотность вероятностей нормированного распределения имеет вид: . Функция называется функцией Лапласа. Ее значения определяются по таблице

49) Двумерной случайной величиной называется функция вероятного события, наступившего в результате принятия величинами х и y случайных значений. Где  X и Y случайные величины, которые могут быть как дискретными, так и непрерывными.

Рассмотрим систему двух случайных величин Х и У, одна из которых независимая (факторный признак) Х, а другая – зависимая (результативный признак) У.

Статистическая зависимость, проявляющаяся в том, что при изменении одной из величин изменяется среднее значение другой, называется корреляционной.

. Коэффициентом корреляции случайных величин Х и У называется отношение корреляционного момента к произведению средних квадратических отклонений этих величин.

50)Генеральная и выборочная совокупность. Объем совокупности.

Множество объектов, из которых производится выборка называется генеральной совокупностью. Выборочной совокупностью (выборкой) называется множество объектов, отобранных из генеральной совокупности. Число объектов в совокупности называется ее объемом.

51)Способы отбора: случайный, механический ,типический и серийный .Повторный и бесповторный отбор.

- простой случайный, при котором объекты извлекают по одному из всей генеральной совокупности; такой отбор можно производить с использованием таблицы случайных чисел или по принципу «лотореи»;

- механический - генеральную совокупность делят на число групп, равное объему выборки, с последующим отбором из каждой группы по одному объекту ( по принципу «каждый пятый»,»каждый десятый» и т.д.);

- типический - генеральная совокупность делится на части и из каждой части случайным образом отбираются один или несколько объектов;

- серийный – после деления генеральной совокупности на части отбираются одна или несколько частей, которые подвергаются исследованию. Если после исследования объект из выборки возвращается в генеральную совокупность, то такая выборка называется повторной, если объект не возвращается в генеральную совокупность, то выборка называется бесповторной.

52)Статистическое распределение выборки. Вариационный ряд. Интервальный ряд. Полигон и гистограмма частот и относительных частот.

Статистическим распределением выборки называют закон, устанавливающий соответствие между вариантами и их частотами или относительными частотами.

Наблюдаемые значения х_i называют вариантами, а последовательность вариант, записанных в возрастающем порядке – вариационным рядом.

Полигоном частот называют ломаную, отрезки которой соединяют точки (х₁, n₁), (х₂, n₂), . . . , (х_k, n_k).

Полигоном относительных частот называют ломаную, отрезки которой соединяют точки (х₁, W₁), (х₂, W ₂), . . . , (х_k, W _k).

Гистограммой частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длиною h, а высоты равны отношению .

53)Эмпирическая функция распределения частот.

Эмпирической функцией распределения (функцией распределения выборки) называют функцию , определяющую для каждого значения х относительную частоту события X < x: или

, где - число вариант, меньших х, n – объем выборки.

. Значения эмпирической функции принадлежат отрезку [0,1]: ;

2. - неубывающая функция;

3. Если х₁ – наименьшая варианта, то =0 при х £ х₁; если х_k наибольшая варианта, то =1 при х > х_k..

54)Статистические оценки параметров распределения .Требования предъявляемые к статистическим оценкам.

Статистической оценкой неизвестного параметра теоретического распределения называют функцию от наблюдаемых случайных величин.

Для того чтобы статистические оценки давали «хорошие» приближения оцениваемых параметров, они должны удовлетворять определенным требованиям.

Пусть есть статистическая оценка неизвестного параметра теоретического распределения. К ней предъявляются требования несмещенности, эффективности и состоятельности.

Несмещенной называют статистическую оценку , математическое ожидание которой равно оцениваемому параметру при любом объеме выборки, т.е. М( )=

Смещенной называют статистическую оценку, математическое ожидание которой не равно оцениваемому параметру т.е. М( )≠ .

Эффективной называют статистическую оценку, которая (при заданном объеме выборки n) имеет наименьшую возможную дисперсию.

Состоятельной называют статистическую оценку, которая при стремится по вероятности к оцениваемому параметру:

55)Числовые характеристики вариационного ряда.

Генеральной средней называют среднее арифметическое значений признака генеральной совокупности: . Выборочной средней называют среднее арифметическое значение признака выборочной совокупности: .

Если значения признака в выборке имеют соответственно частоты , то последнюю формулу можно переписать в виде

= .

Выборочная средняя является несмещенной оценкой генеральной средней.

Введем в рассмотрение величины, характеризующие отклонение значений количественного признака Х от своего среднего значения. Генеральной дисперсией называют среднее арифметическое квадратов отклонений значений признака генеральной совокупности от их среднего значения :

Выборочной дисперсией называют среднее арифметическое квадратов отклонения наблюдаемых значений признака от их среднего значения : = .

Если значения признака х₁ , х₂, …, х_k имеют соответственно частоты , то последнюю формулу можно переписать в виде = .

Выборочная дисперсия является смещенной оценкой генеральной дисперсии. Несмещенной оценкой генеральной дисперсии будет исправленная выборочная дисперсия:

Выборочным средним квадратическим отклонением называют квадратный корень из выборочной дисперсии: = .

56)Интервальные оценки. Доверительный интервал и доверительная вероятность.

Точечной называют оценку, которая определяется одним числом. Все оценки рассмотренные выше точечные.

Интервальной оценкой называется оценка неизвестного параметра, которая определяется двумя числами – концами интервала, покрывающего оцениваемый параметр.

Доверительным интервалом называется интервал, который с заданной надежностью покрывает неизвестный параметр.

Доверительный интервал для математического ожидания а нормального распределения при известном среднем квадратическом отклонении есть интервал < < + , где t – значение аргумента функции Лапласа , при котором .

57)Проверка статистических гипотез. Основные сведения.

Статистическая гипотеза – это предположение о виде распределения или о величинах неизвестных параметров генеральной совокупности, которая может быть проверена на основании выборочных показателей.

Гипотеза, которая проверятся, называется нулевой гипотезой и обозначается H₀. Альтернативной гипотезой H₁ называется гипотеза, конкурирующая с нулевой, то есть противоречащая ей.

Решение об отклонении или принятии статистической гипотезы принимается по выборочным данным. Поэтому приходится считаться и с возможностью ошибочного решения. Различают ошибки І и ІІ рода. Ошибка І рода состоит в том, что будет отвергнута правильная гипотеза (т.е. будет отвергнута нулевая гипотеза, в то время, когда она верна). Ошибка ІІ рода состоит в том, что будет принята неправильная гипотеза (т.е будет принята нулевая гипотеза, в то время, когда она не верна). Обозначим вероятность ошибки первого рода через α. Вероятность α называется уровнем значимости. Уровень значимости α - это вероятность совершить ошибку І рода. Вероятность ошибки второго рода обозначают β, а величину 1 - β называют мощностью критерия.

α=(отвергнуть H₀/H₀ верна)  β=(принять H₀/H₀ ложна)

58)Эмпирические и выравнивающие частоты.

 Эмпирическими частотами называют фактически наблюдаемые частоты  .

Предположим, что у нас имеются основания предположить, что изучаемая величина   распределена по некоторому определенному закону. Для того, чтобы проверить, согласуется ли это предположение с данными наблюдений, вычисляют частоты наблюдаемых значений, то есть находят теоретически сколько раз величина   должна была принять каждое из наблюдаемых значений, если она распределена по наблюдаемому закону.

Определение 6. Выравнивающими (теоретическими), в отличии от фактически наблюдаемых эмпирических частот, называют частоты  , найденные теоретически (вычислениями). Их находят по соотношению

где:  число испытаний;

вероятность наблюдаемого значения  , вычисленная при допущении, что   имеет предполагаемое распределение.