21)Основные правила дифференцирования.

1. _;

2. _;

3. _;

4. _.

22)Производная сложной и обратной функции.

Если и - дифференцируемые функции от своих аргументов, то производная сложной функции существует и равна производной данной функции по промежуточному аргументу, умноженной на производную самого промежуточного аргумента по независимой переменной , т.е.

Для дифференцируемой функции с производной не равной нулю, производная обратной функции равна обратной величине производной данной функции, т.е.

.

23)Дифференциал функции и его применение а приближенных вычислениях.

Дифференциалом функции называется главная, линейная

относительно часть приращения функции, равная произведению

производной на приращение независимой переменной:

.

Дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной: . Поэтому формулу дифференциала функции можно записывать и виде: .

Применение дифференциала в приближенных вычислениях:

При достаточно малых значениях полное приращение функции и дифференциал отличаются незначительно, т.е. . Это обстоятельство используется для приближенных вычислений, а именно: .

24)Условие возрастания и убывания функции.

Теорема (достаточное условие возрастания функции). Если

производная дифференцируемой функции положительна

(отрицательна) во всех точках промежутка, то функция

монотонно возрастает (убывает) на этом промежутке.

25) Экстремумы функций- max, min.

точка явл. Точкой максимума, если при переходе через не.е производная меняет знак с + на -.

max

●

точка явл. Точкой минимума, если при переходе через не.е производная меняет знак с - на +.

- + min

●

Если знак производной не меняется то экстремальных точек нет.

Теорема (Первое достаточное условие экстремума). Если при переходе через

точку производная дифференцируемой функции меняет свой

знак с плюса на минус, то точка есть точка максимума функции ;

если с минуса на плюс, - то точка минимума.

Теорема (Второе достаточное условие экстремума). Если первая производная

дважды дифференцируемой функции равна нулю в некоторой точке , а

вторая производная в этой точке положительна, то есть точка

минимума функции ; если отрицательна, то - точка максимума.

26)Выпуклая и вогнутая кривая. Точка перегиба. Условия существования точки перегиба.

Будем говорить, что график функции имеет на интервале выпуклость, направленную «вниз» («вверх»), если он расположен «не ниже» («не выше») любой касательной к графику функции на .

Определение. Точкой перегиба графика непрерывной функции называется точка, разделяющая интервалы, в которых функция выпукла вниз и вверх.

Теорема (необходимое условие перегиба). Вторая производная дважды дифференцируемой функции в точке перегиба равна нулю, т.е. .

Теорема (достаточное условие перегиба). Если вторая производная дважды дифференцируемой функции при переходе через некоторую точку меняет свой знак, то есть точка перегиба ее графика.