10)Линейные операции над матрицами.

Линейные операции над матрицами удовлетворяют следующим свойствам:

1⁰. А+В = В+А 4⁰. (a+b)А = aА+bА 7⁰. 0∙А = 0

2⁰. (А+В)+С = А+(В+С) 5⁰. (ab)А = (aА)b

3⁰. a(А+В) = aА+aВ 6⁰. А+0 = А

Произведением

11)Произведение матриц, условие его существования.

элементы матрицы-произведения определяются следующим образом: элемент i-й строки и j-го столбца матрицы С равен сумме произведений элементов i-й строки матрицы А на соответствующие элементы j-го столбца матрицы В.

Умножение матрицы А на матрицу В определено, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй.

Произведения матриц удовлетворяют следующим свойствам:

1⁰. (АВ)С=А(ВС) 4⁰. a(АВ)=(aА)В=А(aВ), где a- любое действительное число

2⁰. (А+В)С=АС+ВС 5⁰. АЕ=А

3⁰. А(В+С)=АВ+АС 6⁰. ЕА=А

12)Обратная матрица. Ранг матрицы.

Рангом матрицы А называется наивысший порядок отличных от нуля миноров этой матрицы.

Обратной матрицей А^-1 называется матрица кот. находится по формуле , где А^-1- обратная матрица, -определитель, -присоединенная матрица.

13)Решение системы по формуле Крамера.

Чтобы решить систему уравнений по формулам Крамера нужно:

• Составить главным определитель из чисел стоящих перед переменами, и вычислить его

• Составить 2-й определитель _у или _х2 в кот. 2-й столбец заменяется числами стоящими после = (равенства)

• Составить 1-й определитель _х или _х1 в кот. 1-й столбец заменяется числами стоящими после = (равенства)

• Составить 3-й определитель _z или _х2 в кот. 3-й столбец заменяется числами стоящими после = (равенства)

• Применить формулы Крамера

14)Матричная запись системы и ее решение.

Матрицей системы (1) называется матрица А, составленная из коэффициентов при неизвестных:

Метод Гаусса.На первом этапе(прямой ход) система приводится к ступенчатому виду. На втором этапе (обратный ход) идет последовательное определение неизвестных из этой ступенчатой системы.

Метод Крамера. Метод обратной матрицы.

15)Системы n линейных уравнений с m неизвестными .Теорема Кронекера-Капелли.

Решением системы линейных уравнений (1) называется набор n чисел , , … , , при подстановке которых в эту систему каждое уравнение данной системы превращается в тождество.

Система уравнений (1) называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение; если система не имеет решений, она называется несовместной. Совместная система уравнений называется определенной, если имеет только одно решение, и неопределенной, если имеет больше одного решения.

Системы уравнений вида (1) называются эквивалентными, если они имеют одно и то же множество решений. Система линейных уравнений называется однородной, если свободные члены всех уравнений равны нулю. Если же хотя бы один из свободных членов ее уравнений отличен от нуля, то система линейных уравнений называется неоднородной

Теорема Кронекера-Капелли : Система линейных уравнений совместно тогда и только тогда, когда ранг расширенной матрицы равен рангу матрицы, т.е. r(A) = r(A).