Побудова закону розподілу та визначення числових характеристик

У процесі моделювання виникає проблема: як перевірити сумісність експериментальних даних з деяким теоретичним розподілом? Тобто, чи відповідає частота спостережених вибіркових значень тій частоті, з якою вони з’являлися би за певним законом розподілу? Якщо ці частоти близькі, то в подальшому можна будувати модель на основі цього закону розподілу.

Як правило, число спостережень обмежено, тому важливо підібрати для даного статистичного матеріалу таку теоретичну криву розподілу, яка би виражала істотні характеристики статистичних даних. Це так звана задача вирівнювання статистичних даних.

При установленні закону розподілу слід пам’ятати наступне:

1. Часто принциповий характер кривої розподілу відомий з теоретичних міркувань, а за допомогою досліду чи моделювання треба визначити лише числові параметри закону розподілу. Наприклад, відомо, що швидкість автомобіля у транспортному потоці розподілена за нормальним законом; розміри партій вантажів описуються розподілом Вейбулла чи експоненціальним; імовірність надходження рівно n відправок одному одержувачу – зрізаним розподілом Пуассона.

2. Іноді теоретичну криву підбирають за зовнішнім видом статистичного розподілу. Для цього статистичні дані представляють у вигляді гістограми – розподілу відносних частот (частостей) і порівнюють з відомими кривими теоретичних розподілів. Але візуальне порівняння дозволяє лише передбачити приналежність до певного закону.

3. Деколи використовують криві Джонсона або Пірсона. Вони залежать від 4-х параметрів. Для вибору користуються спеціальними графіками.

4. При застосуванні ЕОМ можна використати кілька законів розподілу і вибрати найкращий за певним критерієм, наприклад, за критерієм узгодженості теоретичного і статистичного розподілів.

Якщо закон розподілу вибрано і необхідно визначити числові характеристики, то використовують:

• метод моментів: параметри вибираються так, щоб найважливіші числові характеристики теоретичного і статистичного розподілів були рівні (наприклад, для нормального закону потрібно, щоб мат.очікування і дисперсія співпали, тому визначають ці характеристики з числового матеріалу і підставляють для перевірки в аналітичний вираз). Найбільш прийнятний метод на практиці;

• метод найменших квадратів: сума квадратів відхилень повинна бути мінімальна;

• метод найбільшої правдоподібності: вимагає розв’язку систем диференціальних рівнянь, але дає оцінки, що мають найменшу дисперсію.

Якщо закон розподілу відомий, то визначення числових характеристик включає наступні етапи:

1. Представляють статистичні дані у формі статистичного ряду або графічно у вигляді гістограми (для неперервних ВВ) чи полігону (для дискретних ВВ). Користуючись даними статистичного ряду, можна приблизно побудувати статистичну (емпіричну) функцію розподілу – по граничних точках чи по серединах інтервалів, використовуючи значення частостей.

2. Визначають параметри закону розподілу. Кількість параметрів 1-4.

3. Перевіряють узгодженість теоретичного і статистичного розподілів за критеріями Пірсона χ² або Колмогорова.

4. Будують теоретичну криву розподілу: у рівняння підставляють весь ряд значень, обчислені значення функції заносять у таблицю і будують графік.