Функція розподілу. Функція щільності розподілу
Випадкову величину ВВ можна повністю охарактеризувати з імовірнісної точки зору, якщо вказати імовірність кожної події, тобто задати розподіл. Таким чином буде установлено закон розподілу ВВ: це будь-яке співвідношення, що установлює зв’язок між можливими значеннями ВВ та відповідними їм ймовірностями. Знаючи закон розподілу, можна до проведення дослідження судити про те, які значення ВВ будуть з’являтися частіше, а які – рідше.
ВВ поділяють на дискретні та неперервні.
Для дискретної ВВ формами задання закону розподілу є ряд розподілу, або таблиця, або графік. У таблиці наводять можливі значення ВВ та відповідні їм імовірності. На графіку по осі абсцис відкладають всі можливі значення ВВ, а по осі ординат - відповідні їм імовірності. Вершини ординат з’єднують прямими лініями – для наочності, так як у проміжках ВВ не приймає ніяких значень, а її імовірність дорівнює нулю. Таким чином одержують многокутник розподілу, який має властивість: сума ординат завжди дорівнює одиниці.
Для неперервної ВВ ряд розподілу побудувати неможливо. Для неї існує розподіл величин інтервалів, а не конкретних значень. Для кількісної оцінки цього розподілу застосовують не імовірність події T=t, а імовірність події T<t (t - поточна величина), яка називається функцією розподілу випадкової величини T: F(t) = P(T<t). Функцію розподілу називають також інтегральною функцією, або інтегральним законом розподілу. Це універсальна характеристика. Вона існує для дискретних та неперервних ВВ. Графік функції розподілу представляє собою неубуваючу функцію, що починається з 0 і доходить до 1; може мати скачки (розриви). Для дискретної ВВ вона розривна і ступінчаста, для неперервної ВВ – неперервна в усіх точках.
Для неперервної ВВ більш наглядна функція щільності розподілу імовірності. Її називають також диференціальним законом розподілу. Щільність розподілу f(t) – це похідна від функції розподілу F(t):
Функція f(t) показує, як часто випадкова величина T з’являється поблизу точки t при багатократному повторенні досліду. Щільність – не універсальна характеристика, вона існує тільки для неперервних ВВ. Крива, що зображає щільність розподілу, називається кривою розподілу.
Основні властивості функції щільності розподілу ВВ:
• це – невід’ємна функція (тобто крива розподілу лежить не нижче осі абсцис);
• інтеграл від щільності розподілу дорівнює одиниці (тобто площа між кривою розподілу і віссю абсцис дорівнює одиниці).
Числові характеристики випадкової величини
Це характеристики найбільш істотних особливостей розподілу, наприклад, середнє значення кожної випадкової величини ВВ, біля якого групується її можливе значення; або степінь розкиду цих значень відносно середнього і т.д.
На практиці не завжди потрібно повністю характеризувати ВВ, тобто визначати закон розподілу. Деколи досить вказати окремі числові параметри і за їх допомогою розв’язати імовірнісну задачу без визначення закону розподілу.
Характеристики положення ВВ на числовій осі:
Математичне очікування, або середнє значення ВВ: М[T] = a.
Для дискретної ВВ – це сума добутків можливих значень на їх імовірності:
При значній кількості дослідів середнє арифметичне наближається до математичного очікування.
Для неперервної ВВ: математичне очікування визначається не сумою, а інтегралом, в якому f(t) - щільність розподілу величини Т:
Мода – найбільш імовірне значення ВВ. У загальному випадку мода і математичне очікування не співпадають.
Медіана – таке значення ВВ, відносно якого рівноімовірно одержати більше або менше значення ВВ. На графіку – це абсциса точки, в якій площа між кривою розподілу та віссю абсцис ділиться пополам.
Для симетричного розподілу всі три характеристики збігаються.
Характеристики розсіювання ВВ –
показують, як щільно згруповані її можливі значення коло математичного очікування. Вони доповнюють ВВ, так як на практиці зустрічаються ВВ з рівними математичними очікуваннями, але з різними розподілами.
Дисперсія ВВ – це математичне очікування квадрата відхилення величини від її математичного очікування. Для дискретної ВВ дисперсія виражається сумою, для неперервної ВВ – інтегралом:
Дисперсія зручна для характеристики розсіювання і розкиду значень ВВ коло її математичного очікування. Але вона не наглядна (через розмірність –квадрат ВВ).
Середнє квадратичне відхилення СКВ – більш наглядна характеристика:
Існують і інші характеристики розподілу, які характеризують симетрію і гостровершинність – за допомогою моментів розподілу:
початковий момент І порядку – це математичне очікування ВВ;
центральний момент ІІ порядку – це дисперсія ВВ;
ІІІ початковий момент характеризує асиметрію (скошеність) розподілу за допомогою коефіцієнту асиметрії, який може мати знак “+” чи “-“;
IV центральний момент характеризує гостровершинність чи плоско-вершинність розподілу за допомогою ексцеса – безрозмірної характеристики.
Крива нормального розподілу з ексцесом ct=0 служить як еталон, з яким порівнюють інші розподіли. Гостровершинні криві мають додатній ексцес, плосковершинні – від’ємний.