Тема 10. Іімовірнісно-статистичні методи досліджень
Імовірнісно–статистичні методи застосовуються в тих випадках, коли досліджуються якісь імовірнісні процеси.
Наприклад: дослідження руху транспортного потоку (ТП). Воно виконується в безупинно змінній обстановці (ДУ), змінюються засоби керування (ОДР), що веде до збільшення нестабільних режимів руху, зупинкам, затримкам. На закони розподілу ТП впливає і склад потоку, і психологічні особливості водіїв, таким чином зміна стану ТП носить імовірнісний характер. Дослідження параметрів ТП виконується імовірнісно–статистичними методами.
Незважаючи на випадковий характер подій, вони підкоряються визначеним закономірностям, що розглядаються в теорії імовірностей.
Теорія імовірності розробляє математичні моделі для опису закономірностей зміни випадкових масових явищ.
Основою статистичних методів є експериментальні дані, що називають статистичними даними.
Теорія імовірності вивчає випадкові події і базується на наступних основних показниках:
Сукупність – множина однорідних подій. Сукупність випадкової величини x складає первинний статистичний матеріал – це група елементів, об’єктів чи явищ, об’єднаних ознакою чи властивістю кількісного або якісного характеру. Одиниця сукупності – це елементи, об’єкти чи явища, що утворюють сукупність.
Генеральна сукупність – це сукупність одиниць, яка досліджується з точки зору деякої властивості. Кількість одиниць позначають N.
Імовірністю Р(x) події x називають відношення числа випадків N(x), що приводять до настання події x до загального числа можливих випадків N.
P(x) = N(x) / N
Приклад: імовірністю впливу ожеледі на здійснення ДТП буде відношення ДТП під час ожеледі до загального числа ДТП (за рік).
Вибіркова сукупність, чи вибірка – це частина елементів, яка потрапила на перевірку. Кількість одиниць позначають n. Вибіркову сукупність використовують для визначення середнього значення ознаки (властивості) в генеральній сукупності (наприклад, середньої швидкості руху автомобілів), для установлення закону розподілу ВВ і т.д.
Вибірковий метод застосовують на автотранспорті при вивченні вантажних і пасажирських потоків та дослідженні техніко-економічних показників. Переваги вибіркового методу над суцільним спостереженням: економія часу і коштів, більш детальне вивчення, більш точна реєстрація , хоча результати не такі ж точні, як при суцільному.
Вибірка має певну похибку, яка при певному розмірі вибірки з урахуванням заданої точності може бути неістотна.
Досліджувана вибірка повинна бути репрезентативна (представницька), тобто повинна давати уявлення про всю сукупність. Для репрезентативності застосовують метод випадкового відбору, при якому кожна одиниця має однаковий шанс попасти у вибірку.
При проведенні вибіркового спостереження заздалегідь задають:
величину допустимої відносної похибки ε (як правило, ε=0,05-0,1);
довірчу імовірність β (надійність висновку), на транспорті β=0,8-0,95;
закон розподілу ВВ.
З припущенням про нормальність розподілу, мінімальний обсяг вибірки, який може забезпечити необхідну точність, визначають за залежністю
де σ - середнє квадратичне відхилення сукупності - СКВ;
t β - показник достовірності для заданої довірчої імовірності β [7];
СКВ можна також визначити за правилом “трьох сігм”: поділити розкид (різницю між максимальним і мінімальним значенням ВВ) на 6.
Для визначення обсягу вибірки, необхідної для оцінювання параметрів сукупності із заданою точністю, використовують метод довірчих інтервалів. Оцінюваним параметром може бути середнє значення сукупності. А через середні значення визначають, чи належать дві різні вибірки одній генеральній сукупності.
Якщо не можна зробити припущення про нормальний розподіл, то для визначення обсяг вибірки користуються нерівністю Чебишева, яка справедлива для будь-яких розподілів сукупностей:
де х – значення у вибірці х1, х2, ..., хn розміру n;
μ – точкова оцінка параметра; k – задане ціле число.
Одержаний розмір вибірки значно більший, ніж для випадку нормального розподілу, але він дозволяє одержувати гарантовану точність. Існують таблиці з розмірами вибірки при різних значеннях ε при нормальному розподілі та на основі нерівності Чебишева.
Теорія імовірностей розглядає теоретичні розподіли випадкових величин, а математична статистика займається способами обробки й аналізу даних експерименту. Ці дві науки застосовуються разом для аналізу наукових досліджень.