3.3 Градиент. Производная по направлению
Скалярным полем называется
плоская или пространственная область,
с каждой точкой
которой
связано определенное значение некоторой
физической величины
.
Задание поля скалярной величины
равносильно
заданию скалярной (числовой) функции
.
Линией уровня скалярного поля
называется совокупность точек плоскости,
в которых функция этого поля имеет
одинаковые значения, т.е.
,
где
.
Градиентом функции называется вектор
=
.
Направление вектора
в
каждой точке
совпадает
с направлением нормали к линии
(поверхности) уровня, проходящей через
эту точку.
Производная функции
в точке
в направлении вектора
,
образующего с осями координат углы
и
,
вычисляется по формуле
Пример
4. Найти градиент и производную функции
в
точке М(3,4) в направлении вектора
l, составляющего угол
с положительным направлением оси Ох.
Решение. Найдем частные производные функции в точке М:
.
Тогда
градиент будет равен:
.
Найдем
направляющие косинусы:
.
Тогда производная по направлению будет
равна
Задание № 1. Вычислить интегралы
Вариант 1
1)
2)
)dx
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
Вариант 2
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
Вариант 3
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
Вариант 4
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
Вариант 5
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
Вариант 6
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
Вариант 7
1)
2)
3)
4)
5)
dx
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
Вариант 8
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
Вариант 9
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
Вариант 10
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
Вариант 11
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
Вариант 12
1)
2)
3)
4)
5)
6)
10)
11)
12)
Вариант 13
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
Вариант 14
1)
dx 2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
Вариант 15
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
Вариант 16
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
Вариант 17
1)
2)
3)
4)
5)
6)
dx
7)
8)
9)
10)
11)
12)
Вариант 18
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
Вариант 19
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
Вариант 20
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
Вариант 21
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
Вариант 22
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
Вариант 23
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
Вариант 24
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
Вариант 25
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
Вариант 26
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
Вариант 27
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
Вариант 28
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
Вариант 29
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
Вариант 30
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
Вариант 31
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
