Свойства определённого интеграла

Свойство 1. Производная от определённого интеграла по верхнему пределу равна подынтегральной функции,

в которую вместо переменной интегрирования подставлено значение верхнего предела, то есть

Свойство 2. Определённый интеграл от суммы функций равен сумме неопределённых интегралов

Свойство 3. Постоянный множитель можно выносить за знак определённого интеграла

Свойство 4. Если на отрезке     , где     , функции         и         удовлетворяют условию     , то

Свойство 5. Если     m    и     M    - наименьшее и наибольшее значения функции     f(x)    на отрезке         и     , то

       

Свойство 6. Если поменять местами верхний и нижний пределы интегрирования, то определённый интеграл изменит знак

Свойство 7.     справедливо равенство

если только все три интегралы существуют. Свойство 8. (Теорема о среднем). Если функция         непрерывна на отрезке       , то на этом отрезке найдётся такая точка        , что справедливо равенство:

Методы решения типовых примеров.

1. Найти интеграл

Решение. Применим подстановку . Тогда и

.

2. Найти интеграл

Решение. Применим подстановку . Тогда ; , откуда

3. Найти интеграл

Решение. Преобразуем знаменатель дроби, стоящей под знаком интеграла следующим образом:

Тогда после подстановки t = x - 2 получаем

При этом при вычислении интеграла мы воспользовались заменой переменной Тогда откуда

4. Найти интеграл

Решение. Разложим знаменатель на множители

Тогда

Освобождаемся от знаменателя:

Теперь приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях x:

Из второго уравнения получаем

Отсюда

Следовательно,

Воспользуемся равенством

После замены переменной и

Ответ:

5. Найти интеграл

Решение. Из равенства

получаем

Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях x:

Отсюда Таким образом,

6. Вычислить площадь, ограниченную параболами

Решение. Найдем абсциссы точек пересечения заданных парабол. Для этого приравняем правые их части:

Отсюда

Вычисление площади осуществляем по формуле

где – кривые, ограничивающие фигуру

В нашем случае

1. Интегрирование по частям

Пример 1

a) Найти

Решение

Данный интеграл I-го вида.

Положим , тогда (в качестве выбрали одну из первообразных функций )

Применяя формулу интегрирования по частям (*), получим:

(**)

Для вычисления интеграла , снова применили формулу интегрирования по частям (*). Запись краткая, какая и нужна при решении задания .

Подставляя значение этого интеграла в правую часть выражения (**) получим:

b) Найти

Решение. Применим формулу интегрирования по частям

Положим Тогда Следовательно,

Пример 2

1. Найти

Решение. Данный интеграл II-го вида, по этому положим u = ln x, d = x⁵dx

Тогда , a

Применяя формулу интегрирования по частям (*), получим:

b) Найти

Решение. Положим Тогда Отсюда

Применяя в последнем интеграле подстановку получаем следовательно,

Отсюда

Пример 3

Найти

Решение. Данный интеграл III-го вида. Положим u = , , откуда ,

( Заметим, что при решении этого примера можно также применить )

Тогда, применяя формулу интегрирования по частям (*), получим:

(***)

К последнему интегралу снова применим формулу интегрирования по частям:

Следовательно,

Подставляя значение этого интеграла в правую часть равенства (***), получим:

В правой части последнего соотношения стоит искомый интеграл

Перенося его в левую часть, получим:

или

Отсюда:

Полученная функция есть одна из первообразных от функции .

Чтобы найти все первообразные, остается к правой части прибавить произвольную постоянную С:

Таблица интегралов